Se 3x ^ 2-4x + 1 ha zeri alfa e beta, allora quale quadratico ha zeri alfa ^ 2 / beta e beta ^ 2 / alfa?

Risposta:

Trova #alfa# e #beta# primo.

Spiegazione:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

I fattori del lato sinistro, così che abbiamo

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Senza perdita di generalità, le radici lo sono #alpha = 1 # e #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # e #(1/3)^2/1= 1/9#.

Un polinomio con coefficienti razionali che hanno queste radici è

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Se desideriamo coefficienti interi, moltiplicare per 9 per ottenere:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Possiamo moltiplicarlo se vogliamo:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

NOTA: Più in generale, potremmo scrivere

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alphabeta #

Risposta:

# 9 x ^ 2-28x + 3 #

Spiegazione:

Nota che:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2- (alpha + beta) x + alpha beta #

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2- (alpha ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alpha) x + (alpha ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alfa)#

#color (bianco) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2- (alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alpha beta) x + alpha beta #

#color (bianco) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 - ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alfa beta) x + alpha beta #

Nel nostro esempio, dividendo # 3x ^ 2-4x + 1 # di #3# noi abbiamo:

# {(alpha + beta = 4/3), (alpha beta = 1/3):} #

Così:

# ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Quindi il polinomio desiderato può essere scritto:

# X ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Moltiplicare attraverso #9# per ottenere coefficienti interi:

# 9 x ^ 2-28x + 3 #

Risposta:

Soluzione proposta di seguito;

Spiegazione:

# 3x²-4x + 1 #

Nota: #un# è alfa, # B # è beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Per formare un'equazione troviamo la somma e i prodotti delle radici..

Per Sum

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Ma; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Perciò;

# ((A + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Quindi sostituiamo i valori..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Quindi, la somma è #28/9#

Per i prodotti

# ((A²) / b) ((b²) / a) #

# ((Ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Quindi, il prodotto è #1/3#

# X²- (a + b) x + ab #

# X²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Moltiplicando attraverso #9#

Spero che questo ti aiuti!