Come differenziate implicitamente y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Risposta:

Usa le regole del prodotto e dei quozienti e fai un sacco di algebra noiosa da ottenere # Dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Spiegazione:

Inizieremo sul lato sinistro:

# Y ^ 2 / x #

Per prendere la derivata di questo, dobbiamo usare la regola del quoziente:

# D / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

abbiamo # U = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # e # V = X-> v '= 1 #, così:

# D / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Ora per il lato destro:

# X ^ 3-3yx ^ 2 #

Possiamo usare la regola della somma e la moltiplicazione di una regola costante per suddividere questo in:

# D / dx (x ^ 3) -3d / dx (YX ^ 2) #

Il secondo di questi richiederà la regola del prodotto:

# D / dx (uv) = u'v + uv '#

Con # U = y> u '= dy / dx # e # V = x ^ 2> v '= 2x #. Così:

# D / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2DY / dx + 2xy #

Il nostro problema ora si legge:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2DY / dx + 2xy #

Possiamo aggiungere # X ^ 2DY / dx # da entrambe le parti e calcolare a # Dy / dx # isolarlo:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2DY / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2DY / DX (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Spero che ti piaccia l'algebra, perché questa è una brutta equazione che deve essere semplificata:

# Dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3 anni) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #