Qual è la seconda derivata di (f * g) (x) se f e g sono funzioni tali che f '(x) = g (x) eg' (x) = f (x)?

Risposta:

# (4f * g) (x) #

Spiegazione:

Permettere #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

Quindi, usando la regola del prodotto:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Usando la condizione indicata nella domanda, otteniamo:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Ora usando le regole di alimentazione e catena:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Applicando nuovamente la condizione speciale di questa domanda, scriviamo:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

Risposta:

Un'altra risposta nel caso # F * g # è pensato per essere la composizione di # F # e # G #

Spiegazione:

Vogliamo trovare la seconda derivata di # (F * g) (x) = f (g (x)) #

Distinguiamo una volta usando la regola della catena.

# D / dxf (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

Quindi ci differenziamo nuovamente utilizzando le regole della catena di prodotti

# D / dxf '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = F '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) f '(g (x)) #