Cosa è x se log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x)?

Risposta:

Nessuna soluzione in # RR #.

Soluzioni in # CC #: #colore (bianco) (xxx) 2 + i colore (bianco) (xxx) "e" colore (bianco) (xxx) 2-i #

Spiegazione:

Innanzitutto, utilizza la regola del logaritmo:

#log_a (x) + log_a (y) = log_a (x * y) #

Qui, questo significa che puoi trasformare la tua equazione come segue:

# log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x) #

# <=> log_2 ((3-x) (2-x)) = log_2 (1-x) #

A questo punto, come base del tuo logaritmo #>1#, puoi "rilasciare" il logaritmo su entrambi i lati da allora #log x = log y <=> x = y # per #x, y> 0 #.

Fai attenzione che non puoi fare una cosa del genere quando c'è ancora una somma di logaritmi come all'inizio.

Quindi, ora hai:

# log_2 ((3-x) (2-x)) = log_2 (1-x) #

# <=> (3-x) (2-x) = 1-x #

# <=> 6 - 5x + x ^ 2 = 1 - x #

# <=> 5 - 4x + x ^ 2 = 0 #

Questa è un'equazione quadratica regolare che puoi risolvere in molti modi diversi.

Questo purtroppo non ha una soluzione per i numeri reali.

#color (Blu) ("~~~~~~~~~~~~~~ added addition ~~~~~~~~~~~~~~~~~") #

Tony B:

#color (blu) ("Sono d'accordo con i tuoi calcoli e penso che siano ben presentati") #

#color (marrone) ("se posso permettermi di ampliare la tua risposta un po '!") #

Sono assolutamente d'accordo sul fatto che non ci sia una soluzione per #x! = RR #

Se d'altra parte guardiamo al potenziale di #x in CC # allora siamo in grado di accertare due soluzioni.

Usando il modulo standard

# ax ^ 2 + bc + c = 0 colore (bianco) (xxxx) "dove" #

#x = (- b + - sqrt ((-b) ^ 2 -4ac)) / (2a) #

Alla fine ci ritroviamo con:

# (+ 4 + - 2i) / 2 -> colore (bianco) (xxx) 2 + i colore (bianco) (xxx) "e" colore (bianco) (xxx) 2-i #

Risposta:

La mia comprensione implica che la domanda deve essere verificata. #color (marrone) ("Se" x in RR "allora è indeterminato, d'altra parte se" x notin RR ", allora questo potrebbe non essere il caso.") #

Spiegazione:

Preambolo

L'aggiunta del registro è la conseguenza della moltiplicazione dei numeri / variabili sorgente.

Il segno di uguale è a #color (blu) ("matematico") # assoluto, affermando che ciò che è un lato di esso ha lo stesso identico valore intrinseco che si trova dall'altra parte.

Entrambi i lati del segno di uguale devono registrare la base 2. Supponiamo di avere un valore casuale di dire # T #. Se lo avessimo # log_2 (t) "then antilog" log_2 (t) = t # Questo tipo di notazione matematica è talvolta scritta come # log_2 ^ -1 (t) = t #

'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Soluzione a questo problema:

Prendendo antilogesi di entrambe le parti dando in questione implica:

# (3-x) (2-x) -> (1-x) #

Questo credo di essere #color (rosso) ("indeterminato") # in quanto LHS non ha esattamente lo stesso valore intrinseco del RHS. Questo#color (verde) ("implica") # che la domanda potrebbe dover essere formulata in modo diverso.

#color (marrone) ("D'altra parte potrebbe essere il caso che" x in CC) #.

#color (marrone) ("Questo potrebbe produrre una risposta.") #

# (3-x) (2-x) = x ^ 2 -5x +6! = (1-x) "per" x in RR #

'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

# (3-x) (2-x) = x ^ 2 -5x +6 = (1-x) "per" x in CC #

#x = 2 + i; 2-i #

Cosa è x se log_2 (x) + log_3 (x + 1) = log_5 (x - 4)?

Non penso che siano uguali .... Ho provato varie manipolazioni ma ho avuto una situazione ancora più difficile! Ho finito per provare un approccio grafico considerando le funzioni: f (x) = log_2 (x) + log_3 (x + 1) e: g (x) = log_5 (x-4) e tracciandoli per vedere se si incrociano : ma non lo fanno per nessuna x!

Cosa è x se log_8 (1-x) + (10log_32 (x)) / 3-log_2 (e ^ ln (1 / x) / 3) = 4/3?

Nessuna soluzione in RR. Prima di tutto, cerchiamo di semplificare un po ': poiché e ^ x e ln (x) sono funzioni inverse, e ^ ln (x) = x vale come pure ln (e ^ x) = x. Ciò significa che puoi semplificare il tuo terzo termine logaritmico: log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 <=> log_8 (1-x ) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 L'obiettivo successivo è quello di portare tutte le funzioni di registro sulla stessa base in modo da avere la possibilità di utilizzare le regole del logaritmo su di esse e semplificare. Puoi cambiare la base del logaritmo come segu

Come risolvete log_2 (x + 2) - log_2 (x-5) = 3?

Unificare i logaritmi e cancellarli con log_ (2) 2 ^ 3 x = 6 log_ (2) (x + 2) + log_ (2) (x-5) = 3 Proprietà loga-logb = log (a / b) log_ (2) ((x + 2) / (x-5)) = 3 Proprietà a = log_ (b) a ^ b log_ (2) ((x + 2) / (x-5)) = log_ (2 ) 2 ^ 3 Poiché log_x è una funzione 1-1 per x> 0 e x! = 1, i logaritmi possono essere esclusi: (x + 2) / (x-5) = 2 ^ 3 (x + 2) / (x-5) = 8 x + 2 = 8 (x-5) x + 2 = 8x-8 * 5 7x = 42 x = 42/7 x = 6