Risposta:
Nessuna soluzione in # RR #.
Spiegazione:
Prima di tutto, cerchiamo di semplificare un po ':
Come # E ^ x # e #ln (x) # sono funzioni inverse, # e ^ ln (x) = x # vale come #ln (e ^ x) = x #. Ciò significa che puoi semplificare il tuo terzo termine logaritmico:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Il tuo prossimo obiettivo è portare tutto il # Log # funziona alla stessa base in modo da avere la possibilità di utilizzare le regole del logaritmo su di essi e semplificare.
È possibile modificare la base del logaritmo come segue:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Usiamo questa regola per cambiare la base #8# di # # Log_8 e la base #32# di # # Log_32 basare #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Ora possiamo calcolare # log_2 (8) = 3 # e # log_2 (32) = 5 #
(nel caso non sia chiaro fammelo scomporre solo per essere sicuro: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Questo ci porta alla seguente, più semplice, equazione logaritmica:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… moltiplicare entrambi i lati con #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Ora siamo pronti per utilizzare le regole del logaritmo:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # e #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
L'obiettivo è avere solo uno # Log # termine sul lato sinistro. Facciamolo.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
A questo punto, possiamo sbarazzarci di # Log_2 (a) # applicando la funzione inversa # 2 ^ a # ad entrambi i lati dell'equazione.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Sfortunatamente, devo ammettere che sono bloccato in questo momento poiché non so come risolvere questa equazione.
Tuttavia, tracciare #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # mi dice che questa equazione non ha soluzioni in # RR #.
graph {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Spero che questo abbia aiutato un po '!
