Dimostra che la funzione non ha lim in x_0 = 0? + Esempio

Risposta:

Vedi la spiegazione.

Spiegazione:

Secondo la definizione di Heine di un limite di funzione abbiamo:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Quindi per mostrare che una funzione ha NO limite a # # X_0 dobbiamo trovare due sequenze # {} # X_n e # {Bar (x) _n} # tale, quello

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

e

#lim_ {n -> + oo} f (x_n) = lim_ {n -> + oo}! f (bar (x) _n) #

Nell'esempio dato, tali sequenze possono essere:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # e #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Entrambe le sequenze convergono in # X_0 = 0 #, ma secondo la formula della funzione abbiamo:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

perché tutti gli elementi in # # X_n sono dentro #1,1/2,1/4,…#

e per #bar (x) _n # noi abbiamo:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

ma per tutti # n> = 2 # noi abbiamo: #f (bar (x) _n) = 1 #

Quindi per n # -> + oo # noi abbiamo:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Entrambe le sequenze coprono # X_0 = 0 #, ma i limiti (*) e (**) sono NON uguale, quindi il limite #lim_ {X-> 0} f (x) # non esiste.

QED

La definizione del limite può essere trovata in Wikipedia all'indirizzo:

Risposta:

Ecco una prova usando la negazione della definizione dell'esistenza di un limite.

Spiegazione:

Versione breve

#f (x) # non può avvicinarsi a un singolo numero # L # perché in ogni quartiere di #0#, la funzione # F # assume valori che differiscono l'uno dall'altro #1#.

Quindi non importa ciò che qualcuno propone # L #, ci sono punti #X# vicino #0#, dove #f (x) # è almeno #1/2# unità lontano da # L #

Versione lunga

#lim_ (xrarr0) f (x) # esiste se e solo se

c'è un numero, # L # tale il per tutti #epsilon> 0 #, c'è un #delta> 0 # tale che per tutti #X#, # 0 <abs (x) <delta # implica #abs (f (x) -L) <epsilon #

La negazione di questo è:

#lim_ (xrarr0) f (x) # non esiste se e solo se

per ogni numero, # L # C'è un #epsilon> 0 #, tale che per tutti #delta> 0 # C'è un #X#, così # 0 <abs (x) <delta # e #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Dato un numero # L #, Lascerò #epsilon = 1/2 # (qualsiasi più piccolo #epsilon# funzionerà pure)

Ora dato un positivo #delta#, Devo mostrare che c'è un #X# con # 0 <absx <delta # e #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (Richiama questo #epsilon = 1/2 #)

Dato un positivo #delta#, infine # 1/2 ^ n <delta # quindi c'è un # # X_1 con #f (x_1) = 2 #.

C'è anche un elemento # x_2 in RR- {1, 1/2, 1/4,… } # con # 0 <x_2 <delta # e #f (x_2) = 1 #

Se #L <= (1/2) #, poi #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Se #L> = (1/2) #, poi #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #