Come si verifica la convergenza per 1 / ((2n + 1)!)?

Risposta:

Nel caso intendessi "testare la convergenza del serie: #sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!) #'

la risposta è: it #color (blu) "converge" #

Spiegazione:

Per scoprirlo, possiamo usare il test del rapporto.

Cioè, se # "U" _ "n" # è il # N ^ "th" # termine di questa serie

Quindi se lo dimostriamo #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / _n "U") <1 #

significa che la serie converge

Dall'altro se #lim_ (nrarr + oo) abs (("U" _ ("n" 1)) / "U" _n)> 1 #

significa che la serie diverge

Nel nostro caso

# "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# e

# "U" _ ("n" +1) = 1 / (2 (n + 1) 1!) = 1 / (2n + 3!) #

Quindi, # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = 1 / ((2n + 3)!) ÷ 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

#"Notare che":#

# (2n + 3)! = (2n + 3) xx (2n + 2) xx (2n + 1)! #

Proprio come: # 10! = 10xx9xx8! #

Sottraiamo #1# ogni volta per ottenere il prossimo

Quindi abbiamo

# "U" _ ("n" +1) / "U" _n = ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2n + 3) (2n + 2)) #

Poi testiamo, #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _N) #

# = Lim_ (+ oo nrarr) abs (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + oo) 1 / ((4n ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 "" # e #0# è meno di #1#

Quindi, è abbastanza sicuro concludere che la serie #color (blu) "converge"! #

Come si usa il test integrale per determinare la convergenza o la divergenza della serie: somma n e ^ -n da n = 1 a infinito?

Prendi l'integrale int_1 ^ ooxe ^ -xdx, che è finito, e nota che limita sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Quindi è convergente, quindi anche sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n). L'affermazione formale del test integrale afferma che se fin [0, oo) rightarrowRR è una funzione decrescente monotona che non è negativa. Quindi la somma sum_ (n = 0) ^ oof (n) è convergente se e solo se "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx è finito. (Tau, Terence, Analisi I, seconda edizione, Hindustan book agency, 2009). Questa affermazione può sembrare un po 'tecnica, ma l'idea è la seguent

Come si verifica la convergenza per somma (4 + add (cosk)) / (k ^ 3) per k = 1 all'infinito?

La serie converge assolutamente. Prima nota: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 per k = 1 ... oo e (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 per k = 1 ... oo Quindi se sum5 / k ^ 3 converge sarà somma (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 poiché sarà inferiore alla nuova espressione (e positiva). Questa è una serie p con p = 3> 1. Pertanto la serie converge assolutamente: vedi http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html per maggiori informazioni.

Come si trova una rappresentazione in serie di potenze per (arctan (x)) / (x) e qual è il raggio di convergenza?

Integrare la serie di potenze della derivata di arctan (x) quindi dividere per x. Conosciamo la rappresentazione della serie di potenze di 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx tale che absx <1. So 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n). Quindi la serie di potenze di arctan (x) è intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1).Si divide per x, si scopre che la serie di potenze di arctan (x) / x è sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Diciamo u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Per trovare il raggio di convergenza di questa serie di potenze,