Qual è il valore di? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Risposta:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Spiegazione:

Noi cerchiamo:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Sia il numeratore che il denominatore 2 #rarr 0 # come #x rarr 0 #. quindi il limite # L # (se esiste) è di una forma indeterminata #0/0#e, di conseguenza, possiamo applicare la regola di L'Hôpital per ottenere:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Ora, usando il teorema fondamentale del calcolo:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

E,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

E così:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Di nuovo questo è di una forma indeterminata #0/0#e, di conseguenza, possiamo applicare nuovamente la regola di L'Hôpital per ottenere:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Quale, possiamo valutare:

# L = (0) / (2-0) = 0 #