Quali sono le soluzioni approssimative di 5x ^ 2 - 7x = 1 arrotondate al centesimo più prossimo?

sottraendo #1# da entrambi i lati otteniamo:

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Questo è nella forma # ax ^ 2 + bx + c = 0 #, con #a = 5 #, #b = -7 # e #c = -1 #.

La formula generale per le radici di un tale quadratico ci dà:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (7 + -sqrt ((- 7) ^ 2- (4xx5xx-1))) / (2xx5) #

# = (7 + -sqrt (69)) / 10 #

# = 0,7 + - sqrt (69) / 10 #

Qual è una buona approssimazione per #sqrt (69) #?

Potremmo dargli un pugno in una calcolatrice, ma facciamolo a mano usando invece Newton-Raphson:

#8^2 = 64#, così #8# sembra una buona prima approssimazione.

Quindi continua a usare la formula:

#a_ (n + 1) = (a_n ^ 2 + 69) / (2a_n) #

Permettere # A_0 = 8 #

# a_1 = (64 + 69) / 16 = 133/16 = 8.3125 #

Questo è quasi certamente abbastanza buono per la precisione richiesta.

Così #sqrt (69) / 10 ~ = 8,3 / 10 = 0,83 #

#x ~ = 0,7 + - 0,83 #

Questo è #x ~ = 1.53 # o #x ~ = -0.13 #

Riscrivere # 5x ^ 2-7x = 1 # nella forma standard di # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

dando

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

quindi usa la formula quadratica per le radici:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

In questo caso

#x = (7 + -sqrt (49 + 20)) / 10 #

Utilizzando una calcolatrice:

#sqrt (69) = 8.306624 # (Ca.)

Così

# x = 15.306624 / 10 = 1.53 # (arrotondato al centesimo)

o

# x = -1.306624 / 10 = -0,13 # (arrotondato al centesimo)