Qual è il logaritmo di un numero negativo?

I logaritmi dei numeri negativi non sono definiti nei numeri reali, nello stesso modo in cui le radici quadrate dei numeri negativi non sono definiti nei numeri reali. Se ci si aspetta che trovi il log di un numero negativo, nella maggior parte dei casi è sufficiente una risposta di "indefinito".

esso è possibile valutarne uno, tuttavia, la risposta sarà un numero complesso. (un numero del modulo #a + bi #, dove #i = sqrt (-1) #)

Se hai familiarità con numeri complessi e stai tranquillo a lavorare con loro, allora continua a leggere.

Innanzitutto, iniziamo con un caso generale:

#log_b (-x) =? #

Useremo la regola del cambiamento di base e convertiremo in logaritmi naturali, per rendere le cose più facili in seguito:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Nota che #ln (-x) # è la stessa cosa di #ln (-1 * x) #. Possiamo sfruttare la proprietà di addizione dei logaritmi e separare questa parte in due registri separati:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Ora l'unico problema è capire cosa #ln (-1) # è. All'inizio potrebbe sembrare una cosa impossibile da valutare, ma esiste un'equazione molto famosa nota come Identità di Eulero che può aiutarci.

L'identità di Eulero afferma:

# e ^ (ipi) = -1 #

Questo risultato deriva dalle espansioni serie di energia di seno e coseno. (Non lo spiegherò in modo approfondito, ma se sei interessato, c'è una bella pagina qui che spiega un po 'di più)

Per ora, prendiamo semplicemente il registro naturale di entrambi i lati dell'identità di Eulero:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

semplificata:

#ipi = ln (-1) #

Quindi, ora che sappiamo cosa #ln (-1) # è, possiamo sostituire di nuovo nella nostra equazione:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Ora hai una formula per trovare i log dei numeri negativi. Quindi, se vogliamo valutare qualcosa del genere # log_2 10 #, possiamo semplicemente inserire alcuni valori:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #