Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x)? Più domande

Risposta:

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Spiegazione:

disconoscimento - Lo presumo # # Phi_0, # # Phi_1 e # # Phi_2 denotano il terreno, rispettivamente gli stati eccitati e i secondi eccitati del pozzo infinito, gli stati convenzionalmente denotati da # N = 1 #, # N = 2 #, e # N = 3 #. Così, # E_1 = 4E_0 # e # E_2 = 9E_0 #.

(d) I possibili risultati delle misurazioni dell'energia sono # # E_0, # # E_1 e # # E_2 - con probabilità #1/6#, #1/3# e #1/2# rispettivamente.

Queste probabilità sono indipendenti dal tempo (poiché il tempo evolve, ogni pezzo prende un fattore di fase - la probabilità, che è data dal modulo quadrato dei coefficienti - non cambia di conseguenza.

(c) Il valore di aspettativa è # # 6E_0. La probabilità di una misurazione dell'energia che produce questo risultato è 0. È vero per tutte le volte.

Infatti, # # 6E_0 non è un autovalore energetico - in modo che una misurazione dell'energia non dia mai questo valore - indipendentemente dallo stato.

(e) Immediatamente dopo la misurazione che produce # # E_2, lo stato del sistema è descritto dalla funzione d'onda

#psi_A (x, t_1) = phi_2 #

A #t_> t_1 #, la funzione d'onda è

# psi_A (x, t) = phi_2 e ^ {- iE_2 / ℏ (t-t_1)} #

L'unico valore possibile che una misurazione dell'energia produrrà in questo stato è # # E_2 - sempre # T_2> t_1 #.

(f) Le probabilità dipendono dal modulo quadrato dei coefficienti - così

#psi_B (x, 0) = sqrt {1/6} phi_0-sqrt {1/3} phi_1 + isqrt {1/2} phi_2 #

funzionerà (ci sono infinite soluzioni possibili). Si noti che poiché le probabilità non sono cambiate, il valore di aspettativa di energia sarà automaticamente uguale a #psi_A (x, 0) #

(g) Da # E_3 = 16 E_0 #, possiamo ottenere un valore di aspettativa di # # 6E_0 se abbiamo # # E_1 e # # E_3 con probabilità # P # e # 1-p # Se

# 6E_0 = pE_1 + (1-p) E_3 = 4pE_0 + 16 (1-p) E_0 implica #

# 16-12p = 6 implica p = 5/6 #

Quindi una possibile funzione d'onda (di nuovo, una delle infinite possibilità) è

#psi_C (x, 0) = sqrt {5/6} phi_1 + sqrt {1/6} phi_3 #