Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Calcola il valore di aspettativa in qualsiasi momento successivo t = t_1, phi_n sono autofunzioni energetiche del pozzo infinito potenziale. Scrivi la risposta in termini di E_0?

Bene, ho capito # 14 / 5E_1 #… e dato il tuo sistema scelto, non può essere ri-espresso in termini di # # E_0.

Ci sono così tante regole della meccanica quantistica spezzate in questa domanda …

Il # # Phi_0, dal momento che stiamo usando infinite soluzioni di pozzi potenziali, svanisce automaticamente … #n = 0 #, così #sin (0) = 0 #.

E per il contesto, avevamo lasciato #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

È impossibile scrivere la risposta in termini di # # E_0 perché #n = 0 # NON esiste per il potenziale infinito bene. A meno che tu non voglia la particella svanire , Devo scriverlo in termini di # # E_n, #n = 1, 2, 3,… #…
L'energia è una costante del movimento, ad es. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Così ora…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Il valore di aspettativa è una costante del movimento, quindi non ci importa a che ora # # T_1 noi scegliamo. Altrimenti, questo non è un sistema conservativo …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # per alcuni #n = 1, 2, 3,… #

In effetti, sappiamo già cosa dovrebbe essere, dato che l'Hamiltoniano per il potenziale infinito unidimensionale è il tempo INDIPENDENTE …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

e il # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # vai a 1 nell'integrale:

#color (blue) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

dove abbiamo lasciato #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Ancora una volta, tutti i fattori di fase si annullano, e notiamo che i termini fuori diagonale vanno a zero a causa dell'ortogonalità del # # Phi_n.

Il denominatore è la norma di # # Psi, che è

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Perciò, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Ciò dà:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) cancel (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) cancel (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) cancel (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) annullare (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Applicare i derivati:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Le costanti fluttuano:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

E questo integrale è noto per ragioni fisiche a metà strada #0# e # L #, indipendente da # N #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = colore (blu) (14/5 E_1) #

Risposta:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Spiegazione:

Ogni stato stazionario corrispondente all'autovalore energetico # # E_n raccoglie un fattore di fase #e ^ {- iE_n t} # sull'evoluzione del tempo. Lo stato dato è non uno stato stazionario - dal momento che è la sovrapposizione di eigenstati energetici appartenenti a diversi autovalori. Di conseguenza, si evolverà nel tempo in modo non banale. Tuttavia, l'equazione di Schroedinger che regola l'evoluzione temporale degli stati è lineare, in modo che ogni autofunzione di energia dei componenti si evolva in modo indipendente, prendendo in considerazione il proprio fattore di fase.

Quindi, la funzione d'onda iniziale

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

si evolve nel tempo # T # a

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Quindi, il valore di aspettativa di energia al tempo # T # è dato da

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) volte (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

dove abbiamo usato il fatto che il #phi_i (x) # sono autofunzioni energetiche, così #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Questo ci dà ancora nove termini. Tuttavia, il calcolo finale è semplificato molto dal fatto che le autofunzioni energetiche sono ortopormalizzate, cioè obbediscono

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Ciò significa che dei nove integrali, solo tre sopravvivono, e otteniamo

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Usando il risultato standard che #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, noi abbiamo # E_1 = 4E_0 # e # E_2 = 9E_0 # per un potenziale infinito bene (potresti essere più abituato a un'espressione che dice #E_n propto n ^ 2 # per un pozzo infinito - ma in questi lo stato fondamentale è etichettato # # E_1 - qui lo etichettiamo # # E_0 - da qui il cambiamento). così

# <E> = (1/6 volte 1 + 1/3 volte 4 + 1/2 volte 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Nota:

Mentre le autofunzioni dell'energia individuale si evolvono nel tempo raccogliendo un fattore di fase, la funzione d'onda generale non differiscono da quello iniziale solo da un fattore di fase - questo è il motivo per cui non è più uno stato stazionario.
Gli integrali coinvolti erano simili

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} volte int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

e questi sembrano essere dipendenti dal tempo. Tuttavia, gli unici integrali che sopravvivono sono quelli per # I = j # - e questi sono proprio quelli per cui la dipendenza dal tempo annulla.
Gli ultimi risultati si adattano al fatto che #hat {H} # è conservato - anche se lo stato non è uno stato stazionario - il valore di aspettativa di energia è indipendente dal tempo.
La funzione d'onda originale è già normalizzata da allora # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # e questa normalizzazione è preservata nell'evoluzione del tempo.
Avremmo potuto ridurre un sacco di lavoro se avessimo fatto uso di un risultato quantistico meccanico standard - se una funzione d'onda è stata espansa nella forma #psi = sum_n c_n phi_n # dove il # # Phi_n sono autofunzioni di un operatore Hermitiano #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, poi # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, a condizione, naturalmente, che gli stati siano correttamente normalizzati.