Dimostrare il seguente?

Risposta:

Controlla qui sotto.

Spiegazione:

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2-1) dx> 0 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 #

Dobbiamo provarlo

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 #

Considera una funzione #f (x) = e ^ x-lnx #, #x> 0 #

Dal grafico di # # C_F possiamo notare che per #x> 0 #

noi abbiamo # E ^ x-lnx> 2 #

Spiegazione:

#f (x) = e ^ x-lnx #, #X##nel##1/2,1#

#f '(x) = e ^ x-1 / x #

#f '(1/2) = sqrte-2 <0 #

#f '(1) = e-1> 0 #

Secondo il Teorema di Bolzano (valore intermedio) che abbiamo #f '(x_0) = 0 # #<=># # E ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# E ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # X_0 = -lnx_0 #

La distanza verticale è tra # E ^ x # e # # Lnx è minimo quando #f (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

Dobbiamo dimostrarlo #f (x)> 2 #, # # AAX#>0#

#f (x)> 2 # #<=># # X_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# X_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (X_0-1) ^ 2> 0 # #-># vero per #x> 0 #

graph {e ^ x-lnx -6.96, 7.09, -1.6, 5.42}

# (E ^ x-LNX) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2-1) dx> 0 #