Domanda n. 059f6

Risposta:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Spiegazione:

Lo sviluppo di Taylor di una funzione # F # a #un# è #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Tieni presente che si tratta di una serie di potenze quindi non converge necessariamente in # F # o addirittura convergere altrove che a # x = a #.

Per prima cosa abbiamo bisogno dei derivati di # F # se vogliamo provare a scrivere una formula reale della sua serie di Taylor.

Dopo il calcolo e una prova di induzione, possiamo dirlo #AAk in NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # e #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Quindi, dopo alcune semplici e minuscole semplificazioni, sembra che la serie di Taylor di # F # è #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + somma_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k 1) #.