Un cerchio ha un centro che cade sulla linea y = 7 / 2x +3 e passa attraverso (1, 2) e (8, 1). Qual è l'equazione del cerchio?

Risposta:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Spiegazione:

Punto A #(1,2)# e il punto B #(8,1)# deve essere la stessa distanza (un raggio) dal centro del cerchio

Questo si trova sulla linea di punti (L) che sono tutti equi-lontani da A e B

la formula per calcolare la distanza (d) tra due punti (da Pitagora) è # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

sostituire in quello che sappiamo per il punto A e un punto arbitrario su L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

sostituire in quello che sappiamo per il punto B e un punto arbitrario su L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Perciò

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Espandi le parentesi

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Semplificare

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

il punto centrale si trova sulla linea #y = 7x - 30 # (l'insieme di punti equidistanti da A e B)

e sulla linea #y = 7x / 2 + 3 # (dato)

risolvi dove queste due linee si incrociano per trovare il centro del cerchio

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

sostituire in #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Il centro del cerchio è a #(66/7, 36)#

il raggio quadrato del cerchio può ora essere calcolato come

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

La formula generale per un cerchio o un raggio # R # è

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # con il centro a h, k

Ora sappiamo # H #, #K# e # R ^ 2 # e può sostituirli nell'equazione generale per il cerchio

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

espandere le parentesi

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

e semplificare

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #