Qual è l'ortocentro di un triangolo con vertici in O (0,0), P (a, b) e Q (c, d) #?

Risposta:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Spiegazione:

Ho generalizzato questa vecchia domanda piuttosto che chiederne una nuova. L'ho fatto prima per una domanda sul circumcenter e non è successo niente di male, quindi continuo la serie.

Come prima ho messo un vertice all'origine per cercare di mantenere trattabile l'algebra. Un triangolo arbitrario può essere facilmente tradotto e il risultato può essere facilmente tradotto.

L'ortocentro è l'intersezione delle altitudini di un triangolo. La sua esistenza si basa sul teorema che le altitudini di un triangolo si intersecano in un punto. Diciamo che le tre quote sono concorrente.

Dimostriamo che le altitudini del triangolo OPQ sono concomitanti.

Il vettore di direzione dell'OP laterale è # P-O = P = (a, b), # che è solo un modo elegante per dire che la pendenza è # B / a # (ma il vettore di direzione funziona anche quando # A = 0 #). Otteniamo il vettore di direzione della perpendicolare scambiando le coordinate e annullando una, qui # (B, -a). # Perpendicolarmente è confermato dal prodotto punto zero:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

L'equazione parametrica dell'altitudine da OP a Q è quindi:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # davvero # T #

L'altitudine da OQ a P è similmente

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # davvero # U #

Il vettore di direzione di PQ è # Q-P = (c-a, d-b) #. La perpendicolare attraverso l'origine, cioè l'altitudine da PQ, è così

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # davvero # V #

Diamo un'occhiata alle altitudini di OP e PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Ecco due equazioni in due incognite, # T # e # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Moltiplicheremo il primo di #un# e il secondo di # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Aggiunta, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad-ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad-bc} #

Abbastanza fresco con il prodotto punto nel numeratore e croce prodotto al denominatore.

L'incontro è il presunto ortocentro # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Troviamo poi l'incontro delle altitudini da OQ e PQ. Per simmetria possiamo solo scambiare #un# con # C # e # B # con # D #. Chiameremo il risultato # (X 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Abbiamo queste due intersezioni uguali, # (x ', y') = (x, y), # quindi abbiamo dimostrato che le altitudini sono concomitanti. #quad sqrt #

Abbiamo giustificato la denominazione dell'intersezione comune il orthocenter e abbiamo trovato le sue coordinate.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #