Quale delle seguenti ha il numero massimo di radici reali?

Risposta:

# x ^ 2-3 add (x) +2 = 0 # con #4# vere radici.

Spiegazione:

Si noti che le radici di:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

sono un sottoinsieme dell'unione delle radici delle due equazioni:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Nota che se una di queste due equazioni ha una coppia di radici reali, allora anche l'altra, poiché hanno la stessa discriminante:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Inoltre nota che se #a, b, c # tutti hanno lo stesso segno allora # ax ^ 2 + b abs (x) + c # prenderà sempre i valori di quel segno quando #X# è reale. Quindi nei nostri esempi, da allora # A = 1 #, possiamo immediatamente notare che:

# x ^ 2 + 3 add (x) +2> = 2 #

quindi non ha zero.

Diamo un'occhiata alle altre tre equazioni a turno:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x in {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x in {-2, 1}):} #

Cercando ognuno di questi, troviamo soluzioni #x in {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 add (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x in {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x in {-1, -2}):} #

Cercando ognuno di questi, troviamo che tutte sono soluzioni dell'equazione originale, vale a dire. #x in {-2, -1, 1, 2} #

Metodo alternativo

Si noti che le vere radici di # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (dove #c! = 0 #) sono le radici reali positive di # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Quindi, trovare quale delle equazioni date abbia le radici più reali equivale a trovare quale delle corrispondenti equazioni quadratiche ordinarie abbia radici reali più positive.

Un'equazione quadratica con due radici reali positive ha segni nello schema #+ - +# o #- + -#. Nel nostro esempio il primo segno è sempre positivo.

Degli esempi forniti, solo il secondo e il terzo hanno coefficienti nel modello #+ - +#.

Possiamo scontare la seconda equazione # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # poiché la sua discriminante è negativa, ma per la terza equazione troviamo:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

ha due radici reali positive, cedendo #4# radici dell'equazione # x ^ 2-3 add (x) +2 = 0 #