Mostra che se p, q, r, s sono numeri reali e pr = 2 (q + s) allora almeno una delle equazioni x ^ 2 + px + q = 0 e x ^ 2 + rx + s = 0 ha radici reali?

Risposta:

Vedi sotto.

Il discriminante di # X ^ 2 + px + q = 0 # è # Delta_1 = p ^ 2-4q #

e quello di # X ^ 2 + RX + s = 0 # è # Delta_2 = r ^ 2-4s #

e # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # P ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

e se # Pr = 2 (q + s) #, noi abbiamo # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Poiché la somma delle due discriminanti è positiva, almeno uno di loro sarebbe positivo

e quindi almeno una delle equazioni # X ^ 2 + px + q = 0 # e # X ^ 2 + RX + s = 0 # ha radici vere.