Come si trova il volume del solido generato ruotando la regione delimitata dalle curve y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) ruotato attorno a y = 4?

Risposta:

# V = 685 / 32pi # unità cubiche

Spiegazione:

Per prima cosa, disegna i grafici.

# Y_1 = x ^ 2-x #

# Y_2 = 3-x ^ 2 #

#X#-intercettare

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # E abbiamo quello # {(X = 0), (x = 1):} #

Quindi le intercettazioni sono #(0,0)# e #(1,0)#

Ottieni il vertice:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Quindi il vertice è a #(1/2,-1/4)#

Ripeti precedente:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # E abbiamo quello # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Quindi le intercettazioni sono # (Sqrt (3), 0) # e # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Quindi il vertice è a #(0,3)#

Risultato:

Come ottenere il volume? Useremo il metodo del disco!

Questo metodo è semplicemente questo: # "Volume" = piint_a ^ da ^ 2dx #

L'idea è semplice, tuttavia devi usarla in modo intelligente.

Ed è quello che faremo.

Chiamiamo il nostro volume # # V

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ B (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ B (4-y_2) ^ 2dx #

NB: sto prendendo # (4-y) # perché # Y # è solo la distanza dal #X#-è un asse alla curva, mentre noi vogliamo la distanza dalla linea # Y = 4 # alla curva!

Ora per trovare #un# e # B #, noi equipariamo # # Y_1 e # # Y_2 e quindi risolvere per #X#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = -1):} #

Da #un# viene prima # B #, # => A = -1 # e # B = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1,5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => Piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Fare lo stesso per # # V_2:

# V_2 = piint_-1 ^ 1,5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1,5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (1 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = colore (blu) ((685pi) / 32) #