Come trovi la derivata di f (x) = (e ^ (2x) - 3lnx) ^ 4?

Risposta:

# 4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3 #

Spiegazione:

Il derivato di #f (x) # può essere calcolato usando la regola della catena che dice:

#f (x) # può essere scritto come funzioni composite dove:

#v (x) = e ^ (2x) -3lnx #

#u (x) = x ^ 4 #

Così, #f (x) = u (v (x)) #

Applicazione della regola della catena sulla funzione composita #f (x) #noi abbiamo:

#color (viola) (f '(x) = u (v (x))' #

#color (viola) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) #

Cerchiamo #color (viola) (v '(x) #

Applicazione della regola della catena sulla derivata di esponenziale:

#color (rosso) ((e ^ (g (x))) '= g' (x) × e ^ (g (x))) #

Conoscendo la derivata di #ln (x) # che dice:

#color (brown) ((ln (g (x))) '= (g' (x)) / (g (x))) #

#colore (viola) (v '(x)) = colore (rosso) ((2x)' e ^ (2x)) - 3colore (marrone) ((x ') / (x)) #

#color (viola) ((v '(x)) = 2e ^ (2x) - (3 / x)) #

Cerchiamo #color (blue) (u '(x)) #:

Applicando il derivato del potere indicato come segue:

#color (verde) (x ^ n = nx ^ (n-1) #

#color (blu) (u '(x)) = colore (verde) (4x ^ 3) #

Sulla base della regola della catena di cui sopra abbiamo bisogno #u '(v (x)) # quindi sostituiamoci #X# di #v (x) #:

#u '(v (x)) = 4 (v (x)) ^ 3 #

#color (viola) (u '(v (x)) = 4 (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #

Sostituiamo i valori di #u '(v (x)) #e #v '(x) # nella precedente regola della catena sopra abbiamo:

#color (viola) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) #

#color (viola) (f '(x) = (2e ^ (2x) - (3 / x)) × 4 (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #

#color (viola) (f '(x) = 4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #