Qual è il dominio e l'intervallo di y = (4x ^ 2 - 9) / ((2x + 3) (x + 1))?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Avviso:

# 4x ^ 2-9 # è la differenza di due quadrati. Questo può essere espresso come:

# 4x ^ 2-9 = (2x + 3) (2x-3) #

Sostituendo questo al numeratore:

# ((2x + 3) (2x-3)) / ((2x + 3) (x + 1)) #

Annullamento di fattori simili:

# (Annulla ((2x + 3)) (2x-3)) / (cancel ((2x + 3)) (x + 1)) = (2x-3) / (x + 1) #

Lo notiamo per # x = -1 # il denominatore è zero. Questo non è definito, quindi il nostro dominio sarà tutti i numeri reali # # BBX # X = - 1 #

Possiamo esprimere questo in notazione set come:

# x! = -1 #

o in notazione a intervalli:

# (- oo, -1) uu (-1, oo) #

Per trovare la gamma:

Sappiamo che la funzione non è definita per # x = -1 #, quindi la linea # x = -1 # è un asintoto verticale. La funzione andrà a # + - oo # a questa linea.

Ora vediamo cosa succede come #x -> + - oo #

Dividere # (2x-3) / (x + 1) # di #X#

# ((2x) / x-3 / x) / (x / x + 1 / x) = (2-3 / x) / (1 + 1 / x) #

come: #x -> + - oo # # (2-3 / x) / (1 + 1 / x) = (2-0) / (1 + 0) = 2 #

Questo mostra la linea # Y = 2 # è un asintoto orizzontale. La funzione non può quindi mai essere uguale a 2.

quindi l'intervallo può essere espresso come:

#y in RR #

o

# (- oo, 2) uu (2, oo) #

Questo può essere visto dal grafico della funzione:

graph {(2x-3) / (x + 1) -32.48, 32.44, -16.23, 16.25}