Un triangolo isoscele ha i lati A, B e C con i lati B e C uguali per lunghezza. Se il lato A va da (1, 4) a (5, 1) e l'area del triangolo è 15, quali sono le possibili coordinate del terzo angolo del triangolo?

Risposta:

I due vertici formano una base di lunghezza 5, quindi l'altitudine deve essere 6 per ottenere l'area 15. Il piede è il punto medio dei punti e sei unità in entrambe le direzioni perpendicolari # (33/5, 73/10)# o #(- 3/5, - 23/10) #.

Spiegazione:

Suggerimento: prova ad attenersi alla convenzione di lettere minuscole per i lati del triangolo e le maiuscole per i vertici triangolari.

Ci vengono dati due punti e un'area di un triangolo isoscele. I due punti rendono la base, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Il piede # F # dell'altitudine è il punto medio dei due punti, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Il vettore di direzione tra i punti è #(1-5, 4-1)=(-4,3)# con la magnitudine 5 appena calcolata. Otteniamo il vettore di direzione della perpendicolare scambiando i punti e annullando uno di essi: #(3,4)# che deve avere anche magnitudo cinque.

Dal momento che l'area # A = frac 1 2 b h = 15 # noi abbiamo # H = (2 * 15) /b=6.#

Quindi dobbiamo muoverci #6# unità da # F # in direzione perpendicolare per ottenere il nostro terzo vertice che ho chiamato # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) o C = (- 3/5, - 23/10) #

Dai un'occhiata: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

L'area firmata è quindi metà del prodotto incrociato

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Questa è la fine, ma generalizziamo la risposta un po '. Dimentichiamo che si tratta di isoscele. Se abbiamo C (x, y), l'area è data dalla formula del laccio:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

L'area è #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # o # -11 = 3x + 4y #

Quindi se il vertice C si trova su una di queste due linee parallele, avremo un triangolo di area 15.

Permettere # PR = A # essere il lato del triangolo isoscele avente le coordinate dei suoi punti finali come segue

#Pto (1,4) # e #Rto (5,1) #

Lasciate le coordinate del terzo punto del triangolo # (X, y) #.

Come # (X, y) # è equidistante da P e R possiamo scrivere

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8Y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => X = (9 + 6Y) / 8 …… 1 #

Ancora # (X, y) # essendo equidistante da P e R, la perpendicolare è scesa da # (X, y) # a # PR # Bisogna bisetterlo in due, lasciare questo piede perpendicolare o al centro di # PR # essere # T #

Quindi coordinate di #Tto (3,2.5) #

Ora altezza del triangolo isoscele

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) #

E la base del triangolo isoscele

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Quindi dal problema la sua area

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) = 6 #

# => (X-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Con 2 e 1 otteniamo

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6Y-15) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => (6Y-15) ^ 2 + 64 (y-2,5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5Y + 6.25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2.5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Così # y = 7,3 e y = -2,3 #

quando # Y = 7.3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

quando # Y = -2.3 #

# X = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0.6 #

Quindi le coordinate del terzo punto saranno

# (6.6.7.3) a "Q in figura" #

# (- 0.6, -2.3) a "S in figura" #

Il perimetro di un triangolo è 29 mm. La lunghezza del primo lato è il doppio della lunghezza del secondo lato. La lunghezza del terzo lato è 5 in più rispetto alla lunghezza del secondo lato. Come trovi le lunghezze laterali del triangolo?

S_1 = 12 s_2 = 6 s_3 = 11 Il perimetro di un triangolo è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati. In questo caso, è dato che il perimetro è 29 mm. Quindi per questo caso: s_1 + s_2 + s_3 = 29 Quindi, risolvendo per la lunghezza dei lati, traduciamo le istruzioni nella forma data in equazione. "La lunghezza del 1 ° lato è il doppio della lunghezza del 2 ° lato" Per risolvere questo problema, assegniamo una variabile casuale a s_1 o s_2. Per questo esempio, vorrei che x sia la lunghezza del 2 ° lato per evitare di avere frazioni nella mia equazione. quindi sappiamo che: s_1

Un triangolo isoscele ha i lati A, B e C con i lati B e C uguali per lunghezza. Se il lato A va da (7, 1) a (2, 9) e l'area del triangolo è 32, quali sono le possibili coordinate del terzo angolo del triangolo?

(1825/178, 765/89) o (-223/178, 125/89) Riconosciamo nella notazione standard: b = c, A (x, y), B (7,1), C (2,9) . Abbiamo testo {area} = 32. La base del nostro triangolo isoscele è BC. Abbiamo un = | BC | = sqrt {5 ^ 2 + 8 ^ 2} = sqrt {89} Il punto medio di BC è D = ((7 + 2) / 2, (1 + 9) / 2) = (9/2, 5). La bisettrice perpendicolare di BC attraversa D e il vertice A. h = AD è un'altitudine, che otteniamo dall'area: 32 = frac 1 2 ah = 1/2 sqrt {89} hh = 64 / sqrt {89} The il vettore di direzione da B a C è CB = (2-7,9-1) = (- 5,8). Il vettore di direzione delle sue perpendicolari è P = (8,5

Un triangolo ha lati A, B e C. L'angolo tra i lati A e B è (7pi) / 12. Se il lato C ha una lunghezza di 16 e l'angolo tra i lati B e C è pi / 12, qual è la lunghezza del lato A?

A = 4.28699 unità Prima di tutto lasciatemi indicare i lati con le lettere minuscole a, b e c Lasciami nominare l'angolo tra i lati "a" e "b" di / _ C, l'angolo tra i lati "b" e "c" / _ A e angolo tra i lati "c" e "a" di / _ B. Nota: - il segno / _ viene letto come "angolo". Siamo dati con / _C e / _A. È dato quel lato c = 16. Usare la Legge dei Seni (Sin / _A) / a = (sin / _C) / c implica Sin (pi / 12) / a = sin ((7pi) / 12) / 16 implica 0.2588 / a = 0.9659 / 16 implica 0.2588 / a = 0.06036875 implica a = 0.2588 / 0.06036875 = 4.28699