Diciamo che K e L sono due diversi sottospazi di spazio vettoriale reale V. Se date dim (K) = dim (L) = 4, come determinare le dimensioni minime sono possibili per V?

Risposta:

5

Spiegazione:

Lascia i quattro vettori # K_1, k_2, k_3 # e # # K_4 formare una base dello spazio vettoriale #K#. Da #K# è un sottospazio di # # V, questi quattro vettori formano un insieme linearmente indipendente in # # V. Da # L # è un sottospazio di # # V diverso da #K#, deve esserci almeno un elemento, ad esempio # # L_1 nel # L #, che non è in #K#, cioè, che non è una combinazione lineare di # K_1, k_2, k_3 # e # # K_4.

Quindi, il set # {K_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # è un insieme lineare indipendente di vettori in # # V. Quindi la dimensionalità di # # V è almeno 5!

In effetti, è possibile per la durata di # {K_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # essere l'intero spazio vettoriale # # V - in modo che il numero minimo di vettori di base deve essere 5.

Proprio come un esempio, lascia # # V essere # RR ^ 5 # e lascia #K# e # # V consiste di vettori delle forme

# ((alpha), (beta), (gamma), (delta), (0)) # e # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

È facile vedere che i vettori

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#e #((0),(0),(0),(0),(0))#

formare una base di #K#. Aggiungi il vettore #((0),(0),(0),(0),(0))#e otterrai una base per l'intero spazio vettoriale,