Risposta:
Il vertice di # Y # è il punto #(-1.25, 26.875)#
Spiegazione:
Per una parabola in forma standard: # Y = ax ^ 2 + bx + c #
il vertice è il punto in cui #x = (- b) / (2a) #
NB: questo punto sarà un numero massimo o minimo di # Y # a seconda del segno di #un#
Nel nostro esempio: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "vertice" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Sostituzione per #X# nel # Y #
#y_ "vertice" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
Il vertice di # Y # è il punto #(-1.25, 26.875)#
Possiamo vedere questo punto come il minimo di # Y # sul grafico sottostante.
grafico {2x ^ 2 + 5x + 30 -43.26, 73.74, -9.2, 49.34}
Per trovare il vertice, la cosa più semplice da fare (oltre a rappresentare graficamente il problema) è convertire l'equazione in forma del vertice. Per farlo, dovremmo "completare il quadrato"
# Y = 2x ^ 2 + 5x + 30 #
il coefficiente principale deve essere #1#, quindi prendi in considerazione il #2#
# Y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) #
Dobbiamo trovare un valore che cambi # X ^ 2 + 5 / + 2x 6 # in un quadrato perfetto.
Per fare ciò, dobbiamo prendere il termine medio, #5/2#e dividilo per #2#. Questo ci dà #5/4#.
Il nostro prossimo passo è quello di quadrare il risultato: #(5/4)^2#, o #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Ora abbiamo il nostro valore mancante: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # ASPETTARE Non possiamo semplicemente aggiungere qualcosa a un problema! Ma, se aggiungiamo qualcosa e subito dopo lo sottraggo, tecnicamente non abbiamo cambiato l'equazione, dato che si sottraggono a zero
Quindi, il nostro problema è davvero # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
Riscriviamo questo: # X ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 6-25 / 16 #
# X ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 # è un quadrato perfetto. Riscriviamolo in quella forma: # (X + 5/4) ^ 2 #
Ora esaminiamo nuovamente la nostra equazione: # (X + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
Combiniamo termini simili: # (X + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Ora abbiamo l'equazione in forma di vertice, e possiamo trovare il vertice molto facilmente da qui
# (X + colore (rosso) (5/4)) ^ 2 + colore (giallo) (71/16) #
# (- colore (rosso) (x), colore (giallo) (y)) #
# (- colore (rosso) (5/4), colore (giallo) (71/16)) #
Questo è il vertice.
Per verificare il nostro lavoro, analizziamo la nostra equazione e vediamo il vertice
grafico {y = 2x ^ 2 + 5x + 30}
Avevamo ragione! #-1.25# e #4.4375# sono equivalenti a #-25/16# e #71/16#
