In che modo la sostituzione trigonometrica è diversa dalla sostituzione di u?

Risposta:

Generalmente, la sostituzione trigsi viene utilizzata per gli integrali del modulo # X ^ 2 + -a ^ 2 # o #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, mentre # U #-la sostituzione viene utilizzata quando una funzione e la sua derivata appaiono nell'integrale.

Spiegazione:

Trovo che entrambi i tipi di sostituzioni siano molto affascinanti a causa del loro ragionamento. Si consideri, in primo luogo, la sostituzione trig. Questo deriva dal Teorema di Pitagora e dalle Identità Pitagoriche, probabilmente i due concetti più importanti nella trigonometria. Usiamo questo quando abbiamo qualcosa come:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # dove #un# è costante

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # assumendo di nuovo #un# è costante

Possiamo vedere che questi due sembrano terribilmente simili # A ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, che è il teorema di Pitagora. Mette in relazione i due lati di un triangolo rettangolo con l'ipotenusa del triangolo. Se lo estraiamo, possiamo vedere che sì, # X ^ 2 + a ^ 2 # può essere rappresentato con un triangolo:

L'immagine è molto utile, perché ci dice # Tantheta = x / a #, o # Atantheta = x #; questo costituisce la base della sostituzione trig. Inoltre (ed è qui che diventa fantastico), quando si sostituisce # x = tantheta # in # X ^ 2 + a ^ 2 #, si finisce con un'identità pitagorica, in questo caso # Tan ^ 2theta + 1 = ^ sec 2theta #. Puoi quindi fare un po 'di semplificazione per # Sec ^ 2theta # se ne hai bisogno, e l'integrale è facile lì fuori. Lo stesso vale per i casi # X ^ 2-a ^ 2 #, # A ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, e #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Puoi usare trig sotto. per una buona quantità di problemi, ma puoi usare # U #-sostituzione forse ancora di più. Usiamo questa tecnica quando abbiamo qualcosa di simile # Intlnx / xdx #. Se siamo osservanti, vediamo che abbiamo due funzioni: # # Lnx e # 1 / x #. E se ricordiamo i nostri derivati di base, lo sappiamo # D / dxlnx = 1 / x # per #x> 0 # (o # D / dxlnabs (x) = 1 / x # per # X! = 0 #). Quindi l'idea è di dirlo # U = lnx #; poi # (Du) / dx = 1 / x # e # Du = dx / x #. Il problema, dopo aver apportato queste sostituzioni, semplifica # # Intudu - Un integrale molto più semplice di prima.

Sebbene queste due tecniche possano essere diverse, entrambe hanno lo stesso scopo: ridurre un integrale a una forma più semplice in modo da poter utilizzare le tecniche di base. Sono sicuro che la mia spiegazione non è sufficiente per includere tutti i dettagli specifici su queste sostituzioni, quindi invito altri a contribuire.