Risposta:
#3:# # Pi / 3 #
Spiegazione:
Abbiamo:
#sum_ (n = 0) ^ oosin ^ n (theta) = 2sqrt (3) + 4 #
#sum_ (n = 0) ^ oo (sin (theta)) ^ n = 2sqrt (3) + 4 #
Possiamo provare ciascuno di questi valori e vedere quale dà # 2sqrt3 + 4 #
#f (r) = sum_ (n = 0) ^ pavimento ^ n = 1 / (1-r) #
#f ((3pi) / 4) - = f (pi / 4) = 1 / (1-sin (pi / 4)) = 2 + sqrt2 #
#f (pi / 6) = 1 / (1-sin (pi / 6)) = 2 #
#f (pi / 3) = 1 / (1-sin (pi / 3)) = 2sqrt3 + 4 #
# Pi / 3 = 3 #
C'è un altro modo, usando la progressione geometrica.
La serie è # 1 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # che può essere scritto come
# (sintheta) ^ 0 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # # perché "nulla" ^ 0 = 1 #
Il nostro primo termine di progressione # A = 1 # e il rapporto comune tra ogni termine della serie è # R = sintheta #
La somma di una serie di progressione geometrica infinita è data da:
# S_oo = a / (1-r), r 1 #
Collegando i valori che abbiamo
# S_oo = 1 / (1-sintheta) #
Ma, # S_oo = 2sqrt3 + 4 # viene data.
Così, # 1 / (1-sintheta) = 2sqrt3 + 4 #
# => 1 / (2sqrt3 + 4) = 1-sintheta #
Razionalizzare il denominatore sul lato sinistro, # => colore (rosso) ((2sqrt3-4)) / ((2sqrt3 + 4) colore (rosso) ((2sqrt3-4))) = 1-sintheta #
# => (2sqrt3-4) / (12-16) = 1-sintheta # # perché (a + b) (a-b) = a ^ 2 + b ^ 2 #
# => - (2sqrt3-4) / 4 = 1-sintheta #
# => - (cancel2sqrt3) / cancel4 ^ 2 + 4/4 = 1-sintheta #
# => -sqrt3 / 2 + cancel1 = cancel1-sintheta #
# => Cancel-sqrt3 / 2 = cancel-sintheta #
# => sqrt3 / 2 = sintheta #
# => theta = sin ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #
# => theta = 60 ° = π / 3 #
Spero che questo ti aiuti.:)
