Domanda # 9be0d

Risposta:

Questa equazione è un'approssimazione dell'energia relativistica di una particella per basse velocità.

Spiegazione:

Sto assumendo alcune conoscenze sulla relatività speciale, ovvero che l'energia di una particella in movimento osservata da una struttura inerziale è data da # E = gammamc ^ 2 #, dove # Gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # il fattore di Lorentz. Qui # V # è la velocità della particella osservata da un osservatore in una cornice inerziale.

Un importante strumento di approssimazione per i fisici è l'approssimazione della serie Taylor. Questo significa che possiamo approssimare una funzione #f (x) # di #f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, il più alto # N #, migliore è l'approssimazione. In effetti, per una grande classe di funzioni lisce questa approssimazione diventa esatta come # N # va a # Oo #. Nota che #f ^ ((n)) # sta per l'ennesima derivata di # F #.

Noi approssimiamo la funzione #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # per piccolo #X#, notiamo che se #X# è piccolo, # X ^ 2 # sarà ancora più piccolo, quindi supponiamo di poter ignorare i fattori di questo ordine. Quindi abbiamo #f (x) approxf (0) + f '(0) x # (questa particolare approssimazione è anche nota come approssimazione di Newton). #f (0) = 0 # e #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, così #f '(0) = 1/2 #. Perciò #f (x) approx1 + 1 / 2x #.

Ora lo notiamo # Gamma = f ((v / c) ^ 2) #. In effetti se # V # è piccolo rispetto a # C #, che sarà nelle situazioni giorno per giorno, l'approssimazione vale, quindi # Gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Sostituendo questo nell'equazione per l'energia totale di una particella dà # Eapproxmc ^ 2 + 1/2 mV ^ 2 #. Questo ci dà l'energia cinetica #E _ ("kin") = E-E_ "riposo" approxmc ^ 2 + 1/2 mV ^ 2-mc ^ 2 = 1/2 mV ^ 2 # per basse velocità, che è coerente con le teorie classiche. Per velocità più elevate è saggio usare più termini della serie di Taylor, finendo con le cosiddette correzioni relativistiche sull'energia cinetica.