Cosa sono i quaternioni?

Risposta:

Un tipo di numero per il quale la moltiplicazione non è generalmente commutativa.

Spiegazione:

Numeri reali (# RR #) può essere rappresentato da una linea: uno spazio unidimensionale.

Numeri complessi (# CC #) può essere rappresentato da un piano: uno spazio bidimensionale.

Quaternioni (H) può essere rappresentato da uno spazio quadridimensionale.

Nei normali numeri aritmetici soddisfano le seguenti regole:

aggiunta

Identità: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Inverso: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Associatività: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

commutativity: #AA a, b: a + b = b + a #

Moltiplicazione

Identità: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Inversa di non zero: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Associatività: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

commutativity: #color (rosso) (AA a, b: a * b = b * a) #

Insieme

distributività: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#colore bianco)()#

Queste regole funzionano per l'insieme di numeri razionali # # QQ, l'insieme di numeri reali # RR # e i numeri complessi # CC # e definire ciò che è chiamato a campo - un set dotato di operazioni di addizione e moltiplicazione che soddisfano queste regole.

Quaternioni (H) sono ciò che viene chiamato a campo obliquo o divisione associativa algebra - un set dotato di operazioni di addizione e moltiplicazione che soddisfino tutte queste condizioni eccetto la commutatività della moltiplicazione.

Essere anche a #4# lo spazio vettoriale dimensionale sopra i Reali, sono la più grande algebra di divisione associativa sopra i Reali, gli unici altri due esseri # RR # e # CC #.

Oltre all'asse Real, vengono chiamate le unità sugli altri tre assi #io#, # J # e #K#. Sono tutte radici quadrate di #-1#.

Queste tre unità immaginarie soddisfano le seguenti condizioni:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

I quaternioni possono essere rappresentati da # # 2xx2 matrici con valori complessi o di # # 4xx4 matrici con valori reali.

Hanno applicazioni in meccanica e fisica teorica.

#colore bianco)()#

Nota

Notate che ho detto associativo divisione algebra. Al di là dei Quaternioni ci sono le ancora più strane Octonioni che abbandonano il requisito che la moltiplicazione sia associativa.