Due satelliti P_ "1" e P_ "2" ruotano su orbite di raggio R e 4R. Il rapporto tra le velocità angolari massime e minime della linea che unisce P_ "1" e P_ "2" è ??

Risposta:

#-9/5#

Spiegazione:

Secondo la terza legge di Keplero, # T ^ 2 propto R ^ 3 implica omega propto R ^ {- 3/2} #, se la velocità angolare del satellite esterno è #omega#quello di quello interiore #omega times (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Lasciaci considerare # T = 0 # essere un istante in cui i due satelliti sono collineari con il pianeta madre, e prendiamo questa linea comune come il #X# asse. Quindi, le coordinate dei due pianeti alla volta # T # siamo # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # e # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, rispettivamente.

Permettere # # Theta essere l'angolo che la linea che unisce i due satelliti fa con il #X# asse. È facile vederlo

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Rendimenti di differenziazione

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 volte #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

così

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) implica #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) implica #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equiv 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Dove la funzione

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

ha la derivata

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

ed è quindi monotonicamente decrescente nell'intervallo #-1,1#.

Quindi, la velocità angolare # (d theta) / dt # è massimo quando #cos (7 omega t) # è minimo e viceversa.

Così, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 volte (-1)) / (17-8 volte (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 volte omega 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 volte 1) / (17-8 volte 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 volte omega (-1) / 9 = -4/3 omega #

e quindi il rapporto tra i due è:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Nota Il fatto che # (d theta) / dt # il segno dei cambiamenti è la causa del cosiddetto moto apparente retrogrado