Che cosa divertente, utile, fatto matematico sai che normalmente non viene insegnato a scuola?

Risposta:

Come valutare "torri di esponenti", come ad esempio #2^(2^(2^2))#e come calcolare l'ultima cifra di # 2 ^ n, # # # NinNN.

Spiegazione:

Per valutare queste "torri", iniziamo dall'alto e procediamo verso il basso.

Così:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Su una nota simile, ma leggermente non correlata, so anche come elaborare le ultime cifre di #2# elevato a qualsiasi esponente naturale. L'ultima cifra di #2# generato a qualcosa cambia sempre tra quattro valori: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Quindi se vuoi trovare l'ultima cifra di # 2 ^ n #, trova in quale posizione si trova il ciclo e conoscerai l'ultima cifra.

Risposta:

Se #n> 0 # e #un# è un'approssimazione di #sqrt (n) #, poi:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

dove #b = n-a ^ 2 #

Spiegazione:

Supponiamo di voler trovare la radice quadrata di un numero #n> 0 #.

Inoltre vorremmo che il risultato fosse una sorta di frazione continua che si ripete ad ogni passaggio.

Provare:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (bianco) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (bianco) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Sottrarre #un# da entrambe le estremità per ottenere:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Moltiplicare entrambi i lati per #sqrt (n) + un # ottenere:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Quindi se # A ^ 2 # è un po 'meno di # N #, poi # B # sarà piccolo e la frazione continua convergerà più velocemente.

Ad esempio, se abbiamo # N = 28 # e scegliere # A = 5 #, quindi otteniamo:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Così:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))) #

che ci dà approssimazioni:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Mi dice una calcolatrice #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Quindi questo non sta convergendo particolarmente rapidamente.

In alternativa, potremmo mettere # N = 28 # e # A = 127/24 # trovare:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Così:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

dandoci approssimazioni:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5,291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Questo sta convergendo molto più velocemente.

Risposta:

Puoi trovare le approssimazioni alle radici quadrate usando una sequenza ricorsivamente definita.

Spiegazione:

#colore bianco)()#

Il metodo

Dato un numero intero positivo # N # che non è un quadrato perfetto:

• Permettere #p = floor (sqrt (n)) # essere il più grande intero positivo il cui quadrato non superi # N #.

• Permettere #q = n-p ^ 2 #

• Definisci una sequenza di numeri interi in base a:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "per" i> = 1):} #

Quindi il rapporto tra i termini successivi della sequenza tenderà verso # P + sqrt (n) #

#colore bianco)()#

Esempio

Permettere # N = 7 #.

Poi #p = floor (sqrt (7)) = 2 #, da #2^2=4 < 7# ma #3^2 = 9 > 7#.

Poi # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Quindi la nostra sequenza inizia:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

In teoria, il rapporto tra termini consecutivi dovrebbe tendere # 2 + sqrt (7) #

Vediamo:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Nota che # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#colore bianco)()#

Come funziona

Supponiamo di avere una sequenza definita da valori dati di # a_1, a_2 # e una regola:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

per alcune costanti # P # e # # Q.

Considera l'equazione:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Le radici di questa equazione sono:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Quindi qualsiasi sequenza con termine generale # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # soddisferà la regola di ricorrenza specificata.

Prossima soluzione:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

per #UN# e # B #.

Noi troviamo:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

e quindi:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# = B (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Quindi con questi valori di # x_1, x_2, A, B # noi abbiamo:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Se #q <3p ^ 2 # poi #abs (x_2) <1 # e il rapporto tra i termini successivi tenderà a # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Risposta:

Divisione modulare

Spiegazione:

La divisione modulare equivale alla divisione, ma la risposta è il resto anziché il valore effettivo. Piuttosto che il #-:# simbolo, usi il #%# simbolo.

Ad esempio, di solito, se dovessi risolvere #16-:5# otterresti #3# resto #1# o #3.2#. Tuttavia, usando la divisione modulare, #16%5=1#.

Risposta:

Valutare i quadrati con le sommatorie

Spiegazione:

Normalmente, dovresti conoscere quadrati come #5^2=25#. Tuttavia, quando i numeri diventano più grandi come #25^2#, diventa più difficile sapere dalla tua parte superiore.

Ho capito che dopo un po 'i quadrati sono solo somme di numeri dispari.

Quello che voglio dire è questo:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # dove #K# è il valore di base meno #1#

Così #5^2# potrebbe essere scritto come:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Questo ti darà:

#1+3+5+7+9#

Questo, infatti, lo è #25#.

Poiché i numeri stanno sempre incrementando di #2#, Potrei quindi aggiungere il primo e l'ultimo numero e poi moltiplicare per # K / 2 #.

Quindi per #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Quindi posso solo farlo #(49+1)(25/2)# e prendi #25^2# che è #625#.

Non è molto pratico, ma è interessante sapere.

#colore bianco)()#

indennità

Sapendo che:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n terms" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

ci consente di risolvere alcuni problemi relativi alle differenze dei quadrati.

Ad esempio, quali sono tutte le soluzioni in interi positivi #m, n # di # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Ciò si riduce alla ricerca di somme di numeri interi dispari consecutivi #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "media 20" #

#color (white) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (white) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (bianco) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "media 10" #

#color (white) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (bianco) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (bianco) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #