La forza applicata a un oggetto che si muove orizzontalmente su un percorso lineare è descritta da F (x) = x ^ 2-3x + 3. Da quanto cambia l'energia cinetica dell'oggetto mentre l'oggetto si sposta da x in [0, 1]?

Risposta:

Seconda legge di Newton:

# F = m * a #

Definizioni di accelerazione e velocità:

# A = (du) / dt #

# U = (dx) / dt #

Energia cinetica:

# K = m * u ^ 2/2 #

La risposta è:

# DeltaK = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Seconda legge di Newton:

# F = m * a #

# X ^ 2-3x + 3 = m * a #

sostituendo # A = (du) / dt # non aiuta con l'equazione, dal momento che # F # non è dato in funzione di # T # ma in funzione di #X# Però:

# A = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Ma # (Dx) / dt = u # così:

# A = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Sostituendo nell'equazione che abbiamo, abbiamo un'equazione differenziale:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (X ^ 2-3x + 3) dx = m * Udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (U_1) ^ (U_2) m * Udu #

Le due velocità sono sconosciute ma le posizioni #X# sono conosciuti. Inoltre, la massa è costante:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (U_1) ^ (U_2) Udu #

# X ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (U_1) ^ (U_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (U_2 ^ 2 / 2- U_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * U_2 ^ 2/2-m * U_2 ^ 2/2 #

Ma # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# DeltaK = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Nota: le unità sono # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 # solo se le distanze sono date # (x in 0,1) # sono in metri.