Qual è la radice quadrata di 89?

Risposta:

La radice quadrata di #89# è un numero che al quadrato dà #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Spiegazione:

Da #89# è primo, #sqrt (89) # non può essere semplificato

Puoi approssimarlo usando un metodo di Newton Raphson.

Mi piace riformularlo un po 'come segue:

Permettere #n = 89 # sii il numero che vuoi la radice quadrata di.

Scegliere # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # così che # P_0 / Q_0 # è una ragionevole approssimazione razionale. Ho scelto questi valori particolari da allora #89# è a metà strada tra #9^2 = 81# e #10^2 = 100#.

Iterare usando le formule:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Ciò fornirà una migliore approssimazione razionale.

Così:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Quindi, se ci fermassimo qui, avremmo ottenuto un'approssimazione:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Facciamo un altro passo:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Quindi otteniamo un'approssimazione:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Questo metodo di Newton Raphson converge velocemente.

#colore bianco)()#

In realtà, un'approssimazione piuttosto buona per #sqrt (89) # è #500/53#, da #500^2 = 250000# e #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Se applichiamo un passo di iterazione a questo, otteniamo una migliore approssimazione:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#colore bianco)()#

Nota

Tutte le radici quadrate di interi positivi hanno ripetute espansioni di frazione continua, che è possibile utilizzare anche per fornire approssimazioni razionali.

Tuttavia, nel caso di #sqrt (89) # l'espansione della frazione continua è un po 'caotica, quindi non è così bello lavorare con:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

L'approssimazione #500/53# sopra è #9; 2, 3, 3, 2#