Risposta:
Vedi spiegazione …
Spiegazione:
Se # P = q = r # poi:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Quindi tutti gli zeri che hanno saranno in comune.
Si noti che queste condizioni non sono richieste.
Ad esempio, se # P = 0 #, #q! = 0 # e #r! = 0 # poi:
# Px ^ 2 + qx + r = 0 # ha radice # X = r / q #
# QX ^ 2 + RX + p = 0 # ha radici # X = r / q # e # X = 0 #
Quindi le due equazioni hanno una radice in comune, ma #p! = q # e non abbiamo bisogno # P + q + r = 0 #.
Risposta:
Vedi sotto.
Spiegazione:
Come # Px ^ 2 + qx + r = 0 # e # QX ^ 2 + RX + p = 0 # avere radice comune, lascia che sia questa radice #alfa#. Poi
# Palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # e # Qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
e quindi # Alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
e # Alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # e # Alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
cioè # (Qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
o # (Qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
o # Q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2QR = p ^ 2QR pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
o # P ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ ^ 3-3p 2QR = 0 # e dividendo per # P #
o # P ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
cioè # (+ Q p + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Quindi # P + q + r = 0 # o # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Osserva questo come # Alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# Alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alpha ^ 2 + alpha + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-qr-rp) #
e se # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, noi abbiamo # Alpha ^ 2 + alpha + 1 = 0 # cioè # P = q = r #
