Qual è il limite in cui x si avvicina all'infinito di (1 + a / x) ^ (bx)?

Usando il logaritmo e la regola di l'Hopital, #lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Usando la sostituzione # T = a / x # o equivalentemente # X = a / t #, # (1 + a / x) ^ {} bx = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Usando le proprietà logaritmiche,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Secondo la regola di l'Hopital, #lim_ {t a 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t a 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Quindi, #lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t a 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Nota: #t a 0 # come #x per infty #)