Qual è una soluzione all'equazione differenziale dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Risposta:

La soluzione generale è:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Spiegazione:

Abbiamo:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Possiamo raccogliere termini per variabili simili:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Che è un'equazione differenziale non lineare ordinaria del primo ordine separabile, quindi possiamo "separare le variabili" ottenere:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Entrambi gli integrali sono quelli delle funzioni standard, quindi possiamo usare quella conoscenza per integrare direttamente:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

E possiamo facilmente riorganizzare per # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Conducendo alla soluzione generale:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Risposta:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Spiegazione:

Questa è un'equazione differenziale separabile, il che significa che può essere scritta nella forma:

# Dy / dx * f (y) = g (x) #

Può essere risolto integrando entrambi i lati:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

Nel nostro caso, dobbiamo prima separare l'integrale nella forma corretta. Possiamo farlo dividendo entrambi i lati # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tDisattivare ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Ora possiamo integrare entrambi i lati:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Possiamo risolvere l'integrale sinistro con una sostituzione di # U = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

La reintegrazione (e la combinazione di costanti) fornisce:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Moltiplicare entrambi i lati per # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Dividi entrambi i lati # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #