Qual è il lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) poiché x si avvicina a 1 dal lato destro?

# 1 / e #

# X ^ (1 / (1-x)) #:

graph {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Bene, questo sarebbe molto più facile se prendessimo semplicemente il # Ln # di entrambe le parti. Da # X ^ (1 / (1-x)) # è continuo nell'intervallo aperto a destra di #1#, possiamo dire che:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Da #ln (1) = 0 # e #(1 - 1) = 0#, questo è nella forma #0/0# e la regola di L'Hopital si applica:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

E naturalmente, # 1 / x # è continuo da entrambi i lati di #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Di conseguenza, il limite originale è:

#color (blue) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = colore (blu) (1 / e) #