Qual è la pendenza della linea normale alla linea tangente di f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) in x = (15pi) / 8?

Risposta:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Grafico interattivo

Spiegazione:

La prima cosa che dovremo fare è calcolare #f '(x) # a #x = (15pi) / 8 #.

Facciamo questo termine per termine. Per il # Sec ^ 2 (x) # termine, si noti che abbiamo due funzioni incorporate l'una nell'altra: # X ^ 2 #, e #sec (x) #. Quindi, dovremo utilizzare una regola della catena qui:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (blu) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Per il 2 ° termine, dovremo utilizzare una regola di prodotto. Così:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = colore (rosso) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + colore (rosso) (d / dxcos (x-pi / 4))(X)#

#color (blu) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Ci si potrebbe chiedere perché non abbiamo usato una regola di catena per questa parte, dal momento che abbiamo un # (x - pi / 4) # dentro il coseno. La risposta è implicitamente, ma l'abbiamo ignorata. Si noti come la derivata di # (x - pi / 4) # è semplicemente 1? Quindi, moltiplicando quello non cambia nulla, quindi non lo scriviamo nei calcoli.

Ora, mettiamo tutto insieme:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = colore (viola) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Guarda i tuoi segni.

Ora, dobbiamo trovare la pendenza della linea tangente a #f (x) # a #x = (15pi) / 8 #. Per fare ciò, inseriamo semplicemente questo valore in #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = colore (viola) (~~ -6.79) #

Tuttavia, ciò che vogliamo non è la linea tangente a f (x), ma la linea normale ad esso. Per ottenere questo, prendiamo semplicemente il reciproco negativo della pendenza sopra.

#m_ (norma) = -1 / -15.78 colore (viola) (~~ 0.015) #

Ora, inseriamo semplicemente tutto in forma di pendenza del punto:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Dai un'occhiata a questo grafico interattivo per vedere come si presenta!

Spero che questo abbia aiutato:)