Quale delle seguenti affermazioni è vera o falsa? Giustifica la risposta. (i) R² ha infinitamente molti sottospazi vettoriali non nulli, appropriati. (ii) Ogni sistema di equazioni lineari omogenee ha una soluzione diversa da zero.

Risposta:

# #

# "(i) Vero." #

# "(ii) Falso." #

Spiegazione:

# #

# "Prova". #

# "(i) Possiamo costruire un tale insieme di sottospazi:" #

# "1)" per tutto r in RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2. #

# "Geometricamente," V_r "è la linea che attraversa l'origine di" RR ^ 2 ", di pendenza" r. #

# "2) Verificheremo che questi sottospazi giustificano l'asserzione (i)." #

# "3) Chiaramente:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Verificare che:" qquad qquad V_r "è un sottospazio appropriato di" RR ^ 2. #

# "Lascia:" qquad u, v in V_r, alpha, beta in RR. qquad qquad qquad quad "Verifica che:" quad alpha u + beta v in V_r. #

# u, v in V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "per alcuni" x_1, x_2 in RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) in V_r; qquad "con" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Quindi:" qquad qquad qquadu, v in V_r, alpha, beta in RR quad rArr quad alpha u + beta v in V_r. #

# "Così:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "è un sottospazio di" RR ^ 2. #

# "Per vedere che" V_r "è diverso da zero, nota che:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) in V_r, "e" (1, r) ne (0, 0). #

# "Per vedere che" V_r "è corretto," "nota che" (1, r + 1)! In V_r: #

# (1, r + 1) in V_r rArr "(mediante la costruzione di" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "chiaramente impossibile". #

# "Così:" qquad qquad qquad V_r "è un sottospazio diverso da zero di" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Ora mostra che ci sono infinitamente tanti sottospazi di questo tipo" V_r. #

# "Lascia:" qquad qquad r, s in RR. qquad qquad qquad quad "Mostreremo:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Per definizione:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) in V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) in V_s. #

# "Chiaramente:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Così:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Quindi ogni" r in RR "produce un sottospazio distinto" V_r. #

# "Questo, insieme a (1), dà:" #

# "La famiglia di sottospazi:" r in RR, "è una famiglia infinita" #

# "di sottospazi di zero, vere e proprie" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) In realtà è facile: se il sistema è quadrato, e il" #

# "matrice dei coefficienti del sistema in invertibile, ci sarà solo" #

# "la soluzione zero". #

# "Supponiamo:" qquad qquad quad A "è una matrice quadrata e invertibile." #

# "Considera il sistema omogeneo:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Così, come" A "è invertibile:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x x 0. #

# "Pertanto, il sistema omogeneo" A x = 0, "non ha un" #

# "soluzione diversa da zero". qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

Quale delle seguenti affermazioni è vera quando si confrontano le seguenti due soluzioni tampone ipotetiche? (Supponiamo che l'HA sia un acido debole.) (Vedi le scelte in risposta).

La risposta corretta è C. (risposta alla domanda). Tampone A: 0,250 mol HA e 0,500 mol A ^ - in 1 L di acqua pura Tampone B: 0,030 mol HA e 0,025 mol A ^ - in 1 L di acqua pura A. Il tampone A è più centrato e ha una capacità tampone più elevata di Buffer BB Buffer A è più centrato, ma ha una capacità tampone inferiore a Buffer BC Buffer B è più centrato, ma ha una capacità tampone inferiore a Buffer AD Buffer B è più centrato e ha una capacità tampone superiore a Buffer AE Non c'è abbastanza informazioni per confrontare questi buffer rispetto a

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (1). x ^ (m) + a_1 x ^ (m-1) + ... + a_ (m-1) x + a_ (m) = 0, a_ (i) in R per tutto i = 1, ..., ha una radice in R solo se m è un numero dispari?

"L'affermazione è falsa [molto falso !!]." # "Buona domanda da porre - ma è (molto) falsa. Osservare:" qquad qquad qquad p (x) = x ^ 2 qquad "ha lo zero reale" x = 0. "Quindi, l'affermazione originale è falsa. " #

Quale delle seguenti affermazioni è vera o falsa? Dai i motivi delle tue risposte. 1.Se σ è una permutazione pari, quindi σ ^ 2 = 1.

False Una permutazione pari può essere scomposta in un numero pari di trasposizioni. Ad esempio ((2, 3)) seguito da ((1, 2)) è equivalente a ((1, 2, 3)) Quindi se sigma = ((1, 2, 3)) allora sigma ^ 3 = 1 ma sigma ^ 2 = ((1, 3, 2))! = 1