Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Risposta:

# {: ("Punto critico", "Conclusione"), ((0,0,0), "sella"):} #

Spiegazione:

La teoria per identificare gli estremi di # Z = f (x, y) # è:

1. Risolvi simultaneamente le equazioni critiche

   # (partial f) / (partial x) = (partial f) / (partial y) = 0 # (vale a dire # F_x = f_y = 0 #)

2. Valutare #f_ (x x), f_ (yy) e f_ (xy) (= f_ (yx)) # in ciascuno di questi punti critici. Quindi valutare # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # in ciascuno di questi punti
3. Determina la natura degli estremi;

   # {: (Delta> 0, "C'è un minimo se" f_ (xx) <0), (, "e un massimo se" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "c'è un punto di sella"), (Delta = 0, "Sono necessarie ulteriori analisi"):} #

Quindi abbiamo:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Cerchiamo di trovare le prime derivate parziali:

# (partial f) / (partial x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (parziale f) / (parziale y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Quindi le nostre equazioni critiche sono:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Da queste equazioni abbiamo:

# y = 0 # o # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # o # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

E l'unica soluzione simultanea è # X = y = 0 #

E così abbiamo uno punto critico all'origine

Quindi, ora esaminiamo le seconde derivate parziali in modo che possiamo determinare la natura del punto critico (citerò solo questi risultati):

# (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (parziale ^ 2f) / (parziale x parziale y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (parziale ^ 2f) / (parziale y parziale x)) #

E dobbiamo calcolare:

# Delta = (parziale ^ 2f) / (parziale x ^ 2) (parziale ^ 2f) / (parziale y ^ 2) - ((parziale ^ 2f) / (parziale x parziale y)) ^ 2 #

ad ogni punto critico. I secondi valori derivati parziali, #Delta#e le conclusioni sono le seguenti:

# {: ("Punto critico", (parziale ^ 2f) / (parziale x ^ 2), (parziale ^ 2f) / (parziale y ^ 2), (parziale ^ 2f) / (parziale x parziale y), Delta, "Conclusione"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #

Quindi, dopo tutto quel lavoro, è piuttosto deludente ottenere un risultato inclusivo, ma se esaminiamo il comportamento attorno al punto critico possiamo facilmente stabilire che si tratta di un punto di sella.

Possiamo vedere questi punti critici se osserviamo una trama 3D: