Qual è la proiezione di (-4i + 3k) su (-2i -j + 2k)?

Risposta:

La proiezione vettoriale è #<-28/9,-14/9,28/9>,# la proiezione scalare è #14/3#.

Spiegazione:

Dato # veca = <-4, 0, 3> # e # vecb = <-2, -1,2>, # possiamo trovare #proj_ (vecb) Veca #, il vettore proiezione di # # Veca su # # Vecb usando la seguente formula:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Cioè, il prodotto punto dei due vettori diviso per la grandezza di # # Vecb, moltiplicato per # # Vecb diviso per la sua magnitudine. La seconda quantità è una quantità vettoriale, poiché dividiamo un vettore per uno scalare. Nota che dividiamo # # Vecb per la sua grandezza al fine di ottenere un vettore unitario (vettore con magnitudine di #1#). Si potrebbe notare che la prima quantità è scalare, come sappiamo che quando prendiamo il prodotto punto di due vettori, il risultante è uno scalare.

quindi, il scalare proiezione di #un# su # B # è #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| B |) #, anche scritto # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Possiamo iniziare prendendo il prodotto punto dei due vettori.

# veca * vecb = <-4, 0, 3> * <-2, -1,2> #

#=> (-4*-2)+(0*-1)+(3*2)#

#=>8+0+6=14#

Quindi possiamo trovare la grandezza di # # Vecb prendendo la radice quadrata della somma dei quadrati di ciascuno dei componenti.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((- 2) ^ 2 + (- 1) ^ 2 + (2) ^ 2) #

# => Sqrt (4 + 1 + 4) = sqrt (9) = 3 #

E ora abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno per trovare la proiezione vettoriale di # # Veca su # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (14) / 3 * (<-2, -1,2>) / 3 #

#=>(14 < -2,-1,2 >)/9#

#=><-28/9,-14/9,28/9>#

La proiezione scalare di # # Veca su # # Vecb è solo la prima metà della formula, dove #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| B |) #. Pertanto, la proiezione scalare è #14/3#.

Spero che sia d'aiuto!