WHAT è il cilindro più grande di raggio, r e altezza h che può stare nella sfera del raggio, R?

Risposta:

Il volume massimo del cilindro si trova se lo si sceglie

# r = sqrt (2/3) R #, e #h = (2R) / sqrt (3) #

Questa scelta porta a un volume massimo del cilindro di:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Spiegazione:

``

Immagina una sezione trasversale attraverso il centro del cilindro e lascia che il cilindro abbia altezza # H #e volume # # V, Poi abbiamo;

# H # e # R # può essere variato e # R # è una costante Il volume del cilindro è dato dalla formula standard:

# V = pir ^ 2h #

Il raggio della sfera, # R # è l'ipotenusa del triangolo con i lati # R # e # 1 / 2h #, quindi usando Pythagoras, abbiamo:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Possiamo sostituire questo nella nostra equazione del volume per ottenere:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Ora abbiamo il volume, # # V in funzione di una singola variabile # H #, che cerchiamo di massimizzare wrt # H # così differenziando wrt # H # dà:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Al minimo o al massimo, # (DV) / (dh) = 0 # così:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (ovviamente vogliamo te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Con questo valore di # H # noi abbiamo:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Dovremmo controllare che questo valore porti ad un volume massimo (piuttosto che massimo), Lo facciamo osservando la seconda derivata:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

E come #h> 0 # lo concludiamo # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # e che il punto critico identificato porta a un massimo come ricercato.

Quindi, se si sceglie, il volume massimo del cilindro si trova

# r = sqrt (2/3) R #, e #h = (2R) / sqrt (3) #

Con questa scelta otteniamo il volume massimo come;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

E ovviamente il volume della Sfera è dato da:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Questo è un problema molto famoso, che è stato studiato dai matematici greci molto prima che il Calculus venisse scoperto. Una proprietà interessante è il rapporto tra il volume del cilindro e il volume della sfera:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

In altre parole, il rapporto tra i volumi è completamente indipendente da # R #, # R # o # H # che è un risultato abbastanza sorprendente!