Qual è l'emivita di (Na ^ 24) se un assistente di ricerca ha fatto 160 mg di sodio radioattivo (Na ^ 24) e ha scoperto che erano rimasti solo 20 mg 45 ore dopo?

Risposta:

#colore (blu) ("L'emivita è di 15 ore.") #

Spiegazione:

Dobbiamo trovare un'equazione della forma:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Dove:

#BB (A (t)) = # la quantità dopo volta t.

#BB (A (0) = # l'importo all'inizio cioè t = 0.

# BBK = # il fattore crescita / decadimento.

# Bbe = # Il numero di Eulero.

# BBT = # ora, in questo caso ore.

Ci viene dato:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Dobbiamo risolvere per # # BBK:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Dividi per 160:

N ° 1/8 = e ^ (45k) #

Prendendo i logaritmi naturali di entrambe le parti:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Quindi:

#ln (1/8) = 45k #

Dividere per 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Poiché per definizione l'emivita è il periodo di tempo in cui abbiamo metà dell'importo iniziale:

#A (t) = 80 #

Quindi dobbiamo risolvere per t in:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

N ° 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Prendendo i logaritmi naturali:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

L'emivita è di 15 ore.

Risposta:

15 ore

Spiegazione:

• Modo rapido

Come la quantità di una sostanza in decomposizione dimezza ogni emivita (da cui il nome), dimezzare la quantità in passaggi richiede 3 passaggi per ottenere da 160 a 20:

• Da # 160 a 80 a 40 a 20 #

E #45 = 3 * 15#

Quindi l'emivita è di 15 anni.

• Modo più formale

Per emivita # Tau #, dove # X (t) # è la quantità (massa / numero di particelle / ecc.) che rimane al tempo t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

Così:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Collegare i valori che sono dati in #piazza#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 implica tau = 15 #