I punti (2, 9) e (1, 3) sono (3 pi) / 4 radianti separati su un cerchio. Qual è la lunghezza d'arco più breve tra i punti?

Risposta:

6,24 unità

Spiegazione:

È evidente dalla figura sopra quella più corta # # Arcab avendo sottotitoli il punto finale A (2,9) e B (1,3) # Pi / 4 # angolo del raggio al centro O del cerchio. L'accordo AB si ottiene unendo A, B. Anche un OC perpendicolare viene disegnato su C dal centro O.

Ora il triangolo OAB è isoscele con OA = OB = r (raggio del cerchio)

Bis bisec # / _ AOB # e # / _ AOC # diventa # Pi / 8 #.

AgainAC = BC# = 1 / 2AB = 1/2 * sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-3) ^ 2) = 1 / 2sqrt37 #

#:. AB = sqrt37 #

Adesso # AB = AC + BC = rsin / _AOC + rsin / _BOC = 2rsin (pi / 8) #

# R = 1 / 2AB * (1 / sin (pi / 8)) = 1 / 2sqrt37csc (pi / 8) #

Adesso, Lunghezza arco minima di AB = raggio# * / _ AOB = r * / _ AOB = r * (pi / 4) = 1 / 2sqrt37csc (pi / 8) * (pi / 4) = 6.24 #unità

Più facilmente per le proprietà del triangolo

# R / sin (3pi / 8) = (AB) / sin (pi / 4) #

# R = (AB) / sin (pi / 4) * (sin (3pi / 8)) = sqrt2AB * sin (3pi / 8) #

Adesso

Lunghezza arco minima di AB = raggio# * / _ AOB = r * / _ AOB = r * (pi / 4) = sqrt2AB * sin (3pi / 8) * pi / 4 = 6.24 # unità