K è un numero reale che soddisfa la seguente proprietà: "per ogni 3 numeri positivi, a, b, c; se a + b + c K allora abc K" Riesci a trovare il valore più grande di K?

Risposta:

# K = 3sqrt (3) #

Spiegazione:

Se mettiamo:

# a = b = c = K / 3 #

Poi:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Così:

# K ^ 2 <= 27 #

Così:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Se abbiamo # A + b + c <= 3sqrt (3) # allora possiamo dire che il caso # A = b = c = sqrt (3) # dà il massimo valore possibile di # Abc #:

Ad esempio, se ripariamo #c in (0, 3sqrt (3)) # e lascia #d = 3sqrt (3) -c #, poi:

# a + b = d #

Così:

#abc = a (d-a) c #

#color (bianco) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (bianco) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (bianco) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

che ha il suo valore massimo quando # A = d / 2 # e # B = d / 2 #, ecco quando # A = b #.

Allo stesso modo se ripariamo # B #, allora troviamo che il massimo è quando # A = c #.

Da qui il valore massimo di # Abc # è raggiunto quando # A = b = c #.

Così # K = 3sqrt (3) # è il valore massimo possibile di # A + b + c # così #abc <= K #