Qual è l'equazione della parabola che ha un vertice in (7, 9) e attraversa il punto (0, 2)?

Risposta:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #

Spiegazione:

Questo problema richiede che comprendiamo come una funzione può essere spostata e allungata per soddisfare determinati parametri. In questo caso, la nostra funzione di base è #y = x ^ 2 #. Questo descrive una parabola che ha il suo vertice in #(0,0)#. Tuttavia possiamo espandere come:

#y = a (x + b) ^ 2 + c #

Nella situazione più elementare:

#a = 1 #

#b = c = 0 #

Ma alterando queste costanti, possiamo controllare la forma e la posizione della nostra parabola. Inizieremo con il vertice. Dal momento che sappiamo che deve essere a #(7,9)# dobbiamo spostare la parabola predefinita a destra di #7# e fino a #9#. Ciò significa manipolare il # B # e # C # parametri:

Ovviamente #c = 9 # perché questo significherà tutto # Y # i valori aumenteranno di #9#. Ma meno ovviamente #b = -7 #. Questo perché quando aggiungiamo un fattore al #X# termine, lo spostamento sarà opposto a quel fattore. Possiamo vedere che qui:

#x + b = 0 #

#x = -b #

Quando aggiungiamo # B # a #X#, spostiamo il vertice in # -B # nel #X# direzione.

Quindi la nostra parabola finora è:

#y = a (x - 7) ^ 2 + 9 #

Ma abbiamo bisogno di allungarlo per passare attraverso il punto #(0,2)#. Questo è semplice come collegare questi valori:

# 2 = a (-7) ^ 2 + 9 #

# 2 = 49a + 9 #

# -7 = 49a #

#a = -1 / 7 #

Ciò significa che la nostra parabola avrà questa equazione:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #