Qual è la distanza tra (0, 0, 8) e (9, 2, 0)?

Risposta:

La distanza è #sqrt (149) #

Spiegazione:

La distanza tra due punti

# (x_1, y_1, z_1) #

e

# (x_2, y_2, z_2) #

nel # RR ^ 3 # (tre dimensioni) è dato da

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Applicandolo al problema in questione, otteniamo la distanza tra #(0, 0, 8)# e #(9, 2, 0)# come

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Quanto segue è una spiegazione di dove proviene la formula della distanza, e non è necessaria per comprendere la soluzione di cui sopra.

La formula della distanza di cui sopra sembra sospettosamente simile alla formula della distanza in # RR ^ 2 # (due dimensioni):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

che deriva da una semplice applicazione del teorema di Pitagora, disegnando un triangolo rettangolo tra due punti con le gambe parallele al #X# e # Y # assi.

Si scopre, il # RR ^ 3 # la versione può essere derivata in modo simile. Se usiamo (al massimo) 3 linee per collegare due punti, procedendo parallelamente al #X#, # Y #, e # Z # assi, otteniamo una scatola con i punti come angoli opposti. Quindi, vediamo come calcolare la distanza attraverso la diagonale di una scatola.

Stiamo cercando di capire la lunghezza della linea rossa #color (rosso) (AD) #

Poiché questa è l'ipotenusa del triangolo # ABD #, dal teorema di Pitagora:

# (colore (rosso) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (colore (blu) (BC)) ^ 2 #

# => colore (rosso) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (colore (blu) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Sfortunatamente, non abbiamo la lunghezza di #color (blu) (BD) # come dato. Per ottenerlo, dobbiamo applicare nuovamente il teorema di Pitagora, questa volta al triangolo # # BCD.

# (colore (blu) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Poiché abbiamo solo bisogno del quadrato di #color (blu) (BD) #, possiamo ora sostituire # ("Ii") # in #("io")#:

#color (rosso) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Infine, se abbiamo #UN# a # (x_1, y_1, z_1) # e # D # a # (x_2, y_2, z_2) #, quindi abbiamo le lunghezze

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Sostituendo questi in quanto sopra ci dà il risultato desiderato.

Come nota aggiuntiva, mentre possiamo facilmente fare prove geometriche solo in 3 dimensioni, i matematici hanno una distanza generalizzata in # RR ^ n # (# N # dimensioni). La distanza tra

# (x_1, x_2, …, x_n) # e # (y_1, y_2, …, y_n) # è definito come

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

che corrisponde al modello da # RR ^ 2 # e # RR ^ 3 #.