Abbiamo: {1,2,3} -> {1,2} e g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Quali sono le molte funizioni iniettive di f e g?

Risposta:

# F # non può essere iniettivo.

# G # può essere iniettivo in #24# modi.

Spiegazione:

Una funzione è iniettiva se non ci sono due input che forniscono la stessa uscita. In altre parole, qualcosa di simile

#f (x) = f (y), quad x ne y #

non può accadere.

Ciò significa che, nel caso di dominio finito e codominio, una funzione può essere iniettiva se e solo se il dominio è inferiore al codominio (o, al massimo, uguale), in termini di cardinalità.

Ecco perché # F # non può mai essere iniettivo. In effetti, puoi risolvere il problema #f (1) # come desidera. Dire #f (1) = 1 #, per esempio. Quando si sceglie #f (2) #, non possiamo ripeterlo #f (2) = 1 #, o # F # non sarebbe iniettivo. Ma quando si tratta di #f (3) # non abbiamo scelta, se diciamo #f (3) = 1 # noi abbiamo #f (1) = f (3) #e se diciamo #f (3) = 2 # noi abbiamo #f (2) = f (3) #.

In altre parole, dobbiamo assegnare una delle due uscite possibili a ciascuno dei tre input. Dovrebbe essere evidente che gli input non possono fornire output diversi.

D'altro canto # G # può essere iniettiva, poiché c'è "spazio sufficiente": ciascuno dei tre ingressi può scegliere una delle quattro uscite in modo tale che nessun ingresso differente fornisca la stessa uscita.

Ma in quanti modi? Bene, supponiamo di ricominciare da capo #f (1) #. Possiamo scegliere una delle quattro uscite per questo input, quindi possiamo scegliere #f (1) # in quattro modi.

Quando si tratta di #f (2) #perdiamo un po 'di libertà: possiamo assegnare qualsiasi valore a #f (2) #, tranne per quello che ci è stato assegnato #f (1) #, quindi rimaniamo con due scelte. Ad esempio, se abbiamo riparato #f (1) = 2 #, poi #f (2) # può essere o #1#, #3# o #4#.

Con la stessa logica, abbiamo due scelte per #f (3) #: dalle quattro possibili scelte, escludiamo quelle già assegnate a #f (1) # e #f (3) #.

Quindi, possiamo definire # G # nel #4*3*2 = 24# modi in cui # G # è iniettivo.