Abbiamo un tetto a mezzo cilindro di raggio r e altezza r montato su quattro pareti rettangolari di altezza h. Abbiamo 200π m ^ 2 di fogli di plastica da utilizzare nella costruzione di questa struttura. Qual è il valore di r che consente il volume massimo?

Risposta:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Spiegazione:

Permettimi di riaffermare la domanda come la capisco.

A condizione che la superficie di questo oggetto sia # # 200pi, massimizza il volume.

Piano

Conoscendo la superficie, possiamo rappresentare un'altezza # H # in funzione del raggio # R #, quindi possiamo rappresentare il volume in funzione di un solo parametro - raggio # R #.

Questa funzione deve essere massimizzata usando # R # come parametro. Questo dà il valore di # R #.

L'area della superficie contiene:

4 pareti che formano una superficie laterale di un parallelepipedo con un perimetro di una base # # 6r e altezza # H #, che hanno un'area totale di # # 6RH.

1 tetto, metà di una superficie laterale di un cilindro di un raggio # R # e alta # R #, che ha un'area di #pi r ^ 2 #

2 lati del tetto, semicerchi di un raggio # R #, la cui superficie totale è #pi r ^ 2 #.

La superficie totale risultante di un oggetto è

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Sapendo che questo è uguale a # # 200pi, possiamo esprimere # H # in termini di # R #:

# 6RH + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Il volume di questo oggetto ha due parti: sotto il tetto e all'interno del tetto.

Sotto il tetto abbiamo un parallelepipedo con area della base # 2r ^ 2 # e altezza # H #, questo è il suo volume

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

All'interno del tetto abbiamo mezzo cilindro con raggio # R # e altezza # R #, il suo volume è

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Dobbiamo massimizzare la funzione

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

che assomiglia a questo (non in scala)

grafico {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Questa funzione raggiunge il massimo quando è derivata uguale a zero per un argomento positivo.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Nell'area di #r> 0 # è uguale a zero quando # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Questo è il raggio che dà il volume più grande, data l'area della superficie e la forma di un oggetto.