Come trovi il limite di (arctan (x)) / (5x) quando x si avvicina a 0?

Risposta:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Spiegazione:

Per trovare questo limite, notare che sia il numeratore che il denominatore vanno a #0# come #X# approcci #0#. Ciò significa che otterremmo una forma indeterminata, quindi possiamo applicare la regola di L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Applicando la regola di L'Hospital, prendiamo la derivata del numeratore e denominatore, dandoci

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Possiamo anche verificarlo graficando la funzione, per avere un'idea di cosa #X# approcci.

Grafico di #arctan x / (5x) #:

graph {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Risposta:

Di seguito viene spiegato un approccio più lungo che utilizza il trigso.

Spiegazione:

Nel caso in cui non ti sentissi a tuo agio con la regola di L'Hopital, o non ti sia ancora stato esposto, un altro approccio per risolvere il problema implica l'uso della definizione della funzione arcotangente.

Ricorda che se # Tantheta = x #, poi # Theta = arctanx #; questo essenzialmente significa che l'arcotangente è il rovescio della tangente. Usando queste informazioni, possiamo costruire un triangolo dove # Tantheta = x # e # Theta = arctanx #:

Dal diagramma, è chiaro che # Tantheta = x / 1 = x #. Da # Tantheta = sintheta / costheta #, possiamo esprimere questo come:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Usando questo oltre al fatto che # Theta = arctanx #, possiamo apportare sostituzioni nel limite:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Questo è equivalente a:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Lo sappiamo #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; così #lim_ (X-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # o #lim_ (X-> 0) theta / sintheta = 1 #. E da allora # Cos0 = 1 #, il limite valuta:

N ° 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#