Supponiamo che ci siano m Martians & n Earthlings in una conferenza di pace. Per assicurare che i marziani stiano tranquilli alla conferenza, dobbiamo assicurarci che non ci siano due marziani seduti insieme, così che tra due marziani ce ne sia almeno uno terrestre (vedi i dettagli)

Risposta:

un) # (N! (N + 1)!) / ((N-m + 1)!) #

b) # (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #

Spiegazione:

Oltre ad alcuni ragionamenti in più, useremo tre tecniche comuni per il conteggio.

In primo luogo, faremo uso del fatto che se ci sono # N # modi per fare una cosa e # M # modi per fare un altro, poi assumendo che i compiti siano indipendenti (ciò che puoi fare per uno non dipende da ciò che hai fatto nell'altro), ci sono # # Nm modi per fare entrambe le cose. Ad esempio, se ho cinque camicie e tre paia di pantaloni, allora ci sono #3*5=15# abiti che posso fare.

Secondo, useremo quel numero di modi di ordinare #K# gli oggetti sono #K!#. Questo perché ci sono #K# modi di scegliere il primo oggetto, e poi # K-1 # modi di scegliere il secondo, e così via e così via. Quindi il numero totale di modi è #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Infine, useremo il numero di modi di scelta #K# oggetti da un insieme di # N # gli oggetti sono # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (pronunciato come n scegliere k). Qui viene fornita una descrizione di come arrivare a questa formula.

a) Se ignoriamo inizialmente le divisioni, ci sono #m! # modi per ordinare i marziani e n # #! modi per ordinare i terrestri. Infine, dobbiamo vedere dove sono posizionati i marziani. Dato che ogni marziano ha bisogno di essere posto o alla fine o tra due terrestri, ci sono # N + 1 # luoghi che possono sedersi (uno a sinistra di ogni terrestre, e poi uno di più all'estrema destra). Come ci sono # M # Marziani, questo significa che ci sono # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # possibili modi per posizionarli. Quindi il totale accomodamento è possibile

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Questo problema è simile a quanto sopra. Per semplificare le cose, prendiamo un terrestre e chiamiamolo presidente. Poiché non importa come viene ruotato un cerchio, invece di fare riferimento a disposizioni di posti a sedere basate su un ordine assoluto, prenderemo in considerazione gli arrangiamenti dei posti in base alla loro relazione con il presidente.

Proprio come sopra, se partiamo dal presidente e proseguiamo in senso orario intorno al cerchio, possiamo contare il numero di modi per ordinare i rimanenti partecipanti. Come ci sono # M # Marziani e # N-1 # rimanendo Terrestri, ci sono #m! # modi per ordinare i marziani e # (N-1)! # modi per ordinare i restanti terrestri.

Successivamente, dobbiamo ancora una volta posizionare i marziani. Questa volta non abbiamo un posto aggiuntivo alla fine, quindi ci sono solo # N # luoghi in cui possono sedersi. Poi ci sono # ((N), (m)) = (n!) / (M! (N-m)!) # modi per metterli. Quindi il totale accomodamento è possibile

# (N-1)! M! (N!) / (M! (N-m)!) = (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #